利用二次函數圖像判斷各系數之間的關系，是中考數學的常考題型，因為綜合性較高，題目較難，通常放在選擇題或者填空題最後一題，作為小題的壓軸題。因此，需要各位同學認真熟悉此種題型的解題方法和技巧。

數學學習

一、基本原理：抛物線與系數之間的關系

已知二次函數y=ax2 bx c，（a≠0, a、b、c為各項系數）

1、a與抛物線的開口方向及大小之間的關系

抛物線開口向上 a>0，

抛物線開口向下 a<0，

|a|越大，抛物線的開口越小

|a|越小，抛物線的開口越大

2、a、b決定抛物線的對稱軸 以及 二次函數的最大最小值

1）抛物線對稱軸的表達式：x= - b/2a

① b=0時，對稱軸為x=0，即y軸；

②當a、b同号時，對稱軸<0，即對稱軸在y軸左側；

③當a、b異号時，對稱軸>0，即對稱軸在y軸右側；

2）二次函數的最值

① 當a>0時，二次函數在x= - b/2a處，取最小值（4ac - b²）/4a

② 當a<0時，二次函數在x= - b/2a處，取最大值（4ac - b²）/4a

3、c即抛物線與y軸的交點

因為對于二次函數y=ax2 bx c，當x=0時，y=c；

C>0 、C=0、C<0 ，抛物線與坐标軸分别交于y軸正半軸、原點、y軸負半軸。

4、△ = b²- 4ac 決定抛物線與x軸的交點個數

① 當△ > 0時，抛物線與x軸有兩個交點

② 當△ = 0時，抛物線與x軸有一個交點

③ 當△ <0時，抛物線與x軸無交點

二、數形結合：代入特殊值

在确定了抛物線的開口方向、對稱軸、最值，以及與坐标軸的交點後，往往隻能解決前面一些較為簡單的問題。我們還需要依據圖形，代入特殊值，才能解決題目中較難的問題。

代入的特殊值一般有x= -1， x= 1， x= -2 ，x=2，x=對稱軸 等，以及圖形中标出的特殊數值，将這些特殊值代入二次函數解析式中，求出函數值，然後結合圖像

（1）與0作比較；

（2）與函數最值作比較；

（3）如果有一次函數，與一次函數值作比較；

（4）或者代入特殊值後，将得到的關于a、b、c表達式進行加減乘除運算等。

下面我們結合例題進行詳細講解：

三、例題解析

例1、如圖所示，已知二次函數y=ax2 bx c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線x=1.直線y=﹣x c與抛物線y=ax2 bx c交于C、D兩點，D點在x軸下方且橫坐标小于3，則下列結論：①2a b c＞0； ②a﹣b c＜0； ③x（ax b）≤a b； ④a＜﹣1.其中正确的是（ ）

A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①②

解：∵抛物線與y軸的交點在x軸上方，

∴c＞0，

∵抛物線的對稱軸為直線x＝− b/(2a) ＝1， （利用對稱軸公式得出a、b的關系）

∴b＝−2a，

∴2a＋b＋c＝2a−2a＋c＝c＞0，所以①正确；

∵抛物線與x軸的一個交點在點（3，0）左側，

而抛物線的對稱軸為直線x＝1，

∴抛物線與x軸的另一個交點在點（−1，0）右側，

∴當x＝−1時，y＜0， （代入特殊值x＝−1，結合圖像将函數值與0作比較）

∴a−b＋c＜0，所以②正确；

∵x＝1時，二次函數有最大值，（代入特殊值x＝1，得出函數最大值，二次函數的所有值都小于最大值）

∴ax2＋bx＋c≤a＋b＋c，

∴ax2＋bx≤a＋b，所以③正确；

∵直線y＝−x＋c與抛物線y＝ax2＋bx＋c交于C、D兩點，D點在x軸下方且橫坐标小于3，

∴x＝3時，一次函數值比二次函數值大，

即9a＋3b＋c＜−3＋c，（代入特殊值x＝3，結合圖像将二次函數值與一次函數值作比較）

而b＝−2a，

∴9a−6a＜−3，解得a＜−1，所以④正确.

故答案為：A.

例2、如圖，二次函數y=ax2 bx c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐标為（0.5，1），下列結論：①ac＜0；②a b=0；③4ac﹣b2=4a；④（a c）2﹣b2＜0．其中正确的個數是（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

解：由圖像可知：

①a<0, c>0

∴ac＜0 正确

②∵頂點的橫坐标為0.5

∴ x＝− b/(2a) ＝1/2

（利用對稱軸公式得出a、b的關系）

∴a b=0 正确

③∵頂點的縱坐标為1

∴（4ac - b²）/4a=1（利用最值公式）

∴4ac﹣b2=4a正确

① 當x= 1時，y= a b c>0

當x= -1時，y= a-b c<0 （a-b c）（a b c）<0

∴（a c）²﹣b²＜0

（代入特殊值x＝−1，x=1得到關于a、b、c表達式進行相乘結合圖像将函數值與0作比較）

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