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圓錐曲線技巧與方法

圖文更新时间:2024-09-02 16:11:57

我們今天來看一下怎麼樣去巧設直線，我們都知道在直線和橢圓、雙曲線、抛物線的焦點的問題中，我們會去設直線的方程，然後聯立方程求解. 在設直線的過程中一定要注意直線的斜率k是否存在, 如果斜率不存在，則這條直線的傾斜角為90度,這種情況則需要進行單獨讨論的. 下面來講講我們怎麼去設直線，在這裡我分了3種情況：

①如果直線過y軸上的一點(0，m),當斜率k存在時，此時直線可設為:

y=kx m,并且這種情況是包含k=0這種情況的，此時y=m，其圖像是與x軸平行的. 但是不包含該直線傾斜角為90度這種情況的，即不包含與x軸垂直的情況,這種情況如果存在，則需要單獨說明.

②如果直線過x軸上的一點(m,0), 則直線方程可以設為:x=ty m，當t=0時，直線與x軸垂直，但是不包含與x軸平行的情況, 這種情況如果存在，則需要單獨說明.

③如果直線過x軸上的一點(m,0), 且直線的斜率為k的直線方程為：

圓錐曲線技巧與方法（圓錐曲線技巧全覆蓋 A1.1.1直線的巧設）1

這個式子實際是點斜式改寫的：

圓錐曲線技巧與方法（圓錐曲線技巧全覆蓋 A1.1.1直線的巧設）2

那麼為什們要這樣去改寫呢，因為有些題目這樣改寫聯立後計算就變得簡單多了，特别是在抛物線的相關的題型當中，下面就用例題來說明一下.

圓錐曲線技巧與方法（圓錐曲線技巧全覆蓋 A1.1.1直線的巧設）3

圓錐曲線技巧與方法（圓錐曲線技巧全覆蓋 A1.1.1直線的巧設）4

上面式子明顯和韋達定理(由于本題的解都為友好的整數，過程中可以不用韋達定理來做)有關，所以下面的步驟就是要設出直線和抛物線方程聯立得出一元二次方程，根據韋達定理就出上述參數的值(我們是這樣去想的，做題的過程中根據得出結果的特點也可以靈活的去用其他更簡單的方法)，那麼問題來了，這個直線該怎麼去設呢？

我這裡給出兩種方法你們來比較一下，看看最後會用那種方法。

圓錐曲線技巧與方法（圓錐曲線技巧全覆蓋 A1.1.1直線的巧設）5

因為本題中的坐标均為整數，兩種設法最後都可以比較快速的求出相應的值，所以在本題中這兩種方法的差距還是不算明顯，但是單從計算複雜程度來講的話，方法②還是肉眼可見的比方法①要簡單的.所以在抛物線與直線相關的問題當中，一定要去考慮直線該怎們去設才能更快，更容易的把解求出來. 我在下一個例題中，再來繼續分析三種設法的區别，讓你們有一個更直觀的認識，今天就講到這裡了.

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