今天老黃要介紹利用導數确定函數的單調區間的方法。主要是講解幾道例題，然後再歸納一般方法。

确定下列函數的單調區間：

(1)f(x)=3x-x^3；(2)f(x)=2x^2-lnx；(3)f(x)=根号内(2x-x^2)；(4)f(x)=(x^2-1)/x.

第一步，先求f(x)的導函數：f’(x)=3-3x^2；

第二步，判斷導函數的零點。即當f'(x)=0時，易求得x等于±1.

第三步，判斷導數在以零點為端點的區間上的符号性質。顯然，當x屬于(-1,1)時，f'(x)>0，當x屬于(-∞,-1]U[1, ∞)時，f'(x)<0.

在導函數大于0的區間上，原函數就遞增；在導函數小于0的區間上，原函數就遞減。而且這裡在開區間上是嚴格單調的。

幾個函數的單調區間的求法都是同樣的套路。接下來給出解題過程：

解：(1)f’(x)=3-3x^2,

當f’(x)=0時, x=±1.

當-1<x<1時, f’(x)>0；當x>1或x<-1時, f’(x)<0，

∴f在[1,-1]上遞增，在(-∞,-1]∪[1, ∞)上遞減.

(2)f’(x)=4x-1/x=(4x^2-1)/x (x>0), 這裡要注意函數的定義域。

當f’(x)=0時, x=±1/2 (負數舍去).

當0<x<1/2時, f’(x)<0；當x>1/2時, f’(x)>0，

∴f在(0, 1/2]上遞減，在[0, ∞)上遞增.

(3)f’(x)= (1-x)根号(2x-x^2)，(0<x<2), 注意原函數和導函數的定義域，

當f’(x)=0時, x=1.

當0<x<1時, f’(x)>0；當1<x<2時, f’(x)<0，

∴f在(0,1]上遞增，在[1,2)上遞減.

(4)f’(x)= (2x^2-(x^2-1))/x^2=(x^2 1)/x^2>0 (x≠0),

∴f在(-∞,0)U(0, ∞)上遞增.

最後一個函數和前面的函數又有所不同，因為它的導函數恒大于0，所以不存在0點，整個定義域都是一個單調區間。

下面組織利用導數确定函數的單調區間的一般步驟：

(1)先确定原函數的定義域，任何函數問題，最好先确定定義域，以免解題過程中忘記，造成馬夫的錯誤；

(2)求導，并确定導函數的定義域，與原函數的定義域形成的交集，就是我們研究的區間；

(3)如果導函數在定義域上恒大于0則原函數在定義域上增，若恒小于0，則函數在定義域上減；否則就求導函數的零點；

(4)根據導函數的定義域和零點，确定導函數的正區間和負區間；

(5)導函數的正區間就是原函數的單調增區間，而導函數的負區間就是原函數的單調減區間。

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