⑨老師發現，解數學題的時候，自由随意或許不是一個好的做法。

例如——

如果⑨老師左邊數一數、右邊又數一數……大正方形找幾個、小正方形又找幾個……他很快就會忘記正在數的這個正方形是否之前已經數過，又或者數到最後對答案時發現漏數了幾個正方形……

于是⑨老師看着這個4×4的網格，心想——

這個漂亮又對稱的圖形，給人以諸多自由的遐想：人們可以從它的東南西北的任意一側去觀察，數它包含的正方形時也可以是邊長1、2、3、4中的任意一種，與那些長得“歪瓜裂棗”的圖案不同，它是那麼“正”，那麼的“有秩序”……

慢着——

……“有秩序”？

……“有序”？

這個4×4的網格真的是“有序”的嗎？

⑨老師稍微頭腦風暴了一下——

假如在4×4的網格裡随意填入1到16來表示數格子的先後順序，那麼填入前和填入後誰更“有序”？

填入前空空如也、非常整齊看似“有序”——

填入後亂七八糟、毫無頭緒看似“無序”——

但是在數學上、物理學上，“無序“與”有序“的概念與人們日常的感官體驗可能相反——

如上圖所示，填入前是一張白紙，其上具備數格子順序的各種可能性；

而填入後，數格子的順序就被永遠固定了下來，無論誰來數右邊4×4網格的格子，大家的順序都是一樣的，而去數左邊的4×4網格卻是“千人千序”。

順序多且雜亂的是無序（看上去白淨的左圖），順序一緻統一的則是有序（看上去混亂的右圖）。

恰好與我們的第一印象相反。

“原來如此！擁有更多的自由，反而是更加‘無序’的。”

⑨老師如是總結道。

——頭腦風暴結束！

⑨老師回到“數正方形”的正題上來——

盡管4×4的網格整齊又對稱——但它的“無序”（太多不同的數法）卻帶來了計數上混亂，而人腦天生不适應混亂……除非能從混亂中找出些規律來。

那麼，如何徹底數清楚4×4網格含有多少個正方形呢？

⑨老師現在想明白了，他笑了笑——

“我們應該于無序中尋找有序，finding order in disorder！”

所以⑨老師寫下了如下圖所示的解題過程——

“當圖形數起來充滿了自由的時候（這樣數也可以、那樣數也可以），我們反而需要人為地規定順序，比如在以上解題步驟中，我們先是去數邊長為1的正方形有4×4=16個，然後去數邊長為2的正方形有3×3=9個，再去數邊長為3的正方形有2×2=4個，最後去數邊長為4的正方形，按照正方形從小到大的順序來數，最終才不重不漏地數出一共有16 9 4 1=30個正方形！”

⑨老師一邊解說一邊露出了興奮的表情——

“這真是一件有趣的事兒！

“本來題目沒有規定我們一定要按照正方形從小到大的順序來數，但我們卻‘自己給自己強加了一道規則’并樂于遵守它！

“如果有人不想按照從小到大，那麼他徹底貫徹從大到小的順序也可以成功！

“但是他最好不要既想要從小到大，又想要從大到小！如果他什麼都想要，那麼他什麼都得不到！”

⑨老師對自己的總結很滿意，他心想，如果有人為自己制定了若幹套規則，而這套規則與那套規則又相互沖突，想要同時遵守這些“秩序”、不就與混亂無異了嗎？

數完了正方形，⑨老師又玩起了“拆數遊戲”——

以上問題⑨老師把它稱為“和定無序拆三數”。

⑨老師提醒自己——

“做無序計數的題目時需要注意的是——僅排序不同帶來的不同不算是真正的不同。比如對于三個正整數的和為10，3 3 4=10與3 4 3=10其實是同一組。”

可是——

明白了“我們應該數不帶順序的數組”之後，解題好像并沒有就此變得順暢！

原本以為“無序給了更多填空的自由”、而“自由即可以更容易填空”的⑨老師做了以下嘗試——

3個正整數之和等于10，相當于做一個填空遊戲——

（ ） （ ） （ ）=10

我們可以填1 3 6，

也可以填2 1 7，

還可以填8 1 1，

當然也可以填4 3 3，

填3 5 2=10也行，

填6 1 3也不錯……

嗯？

6 1 3？

好像和最開始填的1 3 6是同一組？

“麻煩出現了！”⑨老師暫停了“自由地枚舉”，他放下筆自語——

“随意地填空，會招緻重複，而這種随時可能發生的重複，讓我無法繼續自由地枚舉下去，如果我非要這樣枚舉下去，等待着我的就是計數遊戲的失敗！

“看來自由是需要付出代價的，做這道題自由随意地枚舉，代價就是重複，基本上就與正确無緣了，這個代價挺沉重！”

既然做題是為了最終做正确而不是為了做得爽，⑨老師想，那麼我甯可不那麼自由！

來點約束吧！

來點規則吧！

比如填“（ ） （ ） （ ）=10”這個題目的空時，我就要給自己加上一條規則——

“必須把三個數按照從小到大的順序填寫！”

例如想要填“3、1、6”這個三個數的時候，就不能填“3 1 6”，也不能填“6 1 3”，也不能填“3 6 1”，也不能填“6 3 1”，也不能填“1 6 3”，而隻能填“1 3 6”！

“添加了人為規定的填寫順序之後！一切都變得美好了起來！”

⑨老師重新拿起筆，順勢寫下如下解題步驟——

寫完題目，⑨老師心生感歎——

無序給了太多自由，我們不能那麼自由，我們必須選擇諸多自由中的一個，并遵守它，徹底執行它，才能完成正确的解題！

“但這并不是說，我們沒有自由，”⑨老師覺得自己有必要澄清一點，“我們有選擇的自由，但是選擇之後，我們要承擔起徹底執行這個選擇的責任！”

“如果當時，”⑨老師繼續說，“我沒有選擇從小到大枚舉，我也可以通過選擇從大到小枚舉來獲得成功！條條大路通羅馬！但是你必須得行動起來、并堅持到最後！”

既然如此，不妨讓時光倒流，回到最初做選擇的時候——

⑨老師又想到一種做法，“如果再重來一次，我想要在諸多自由中添上這樣一條規則——先把這道題當做有序的a b c=10來做，然後再把因順序不同帶來的重複給除掉！”

簡單來說，就是先有序計數、再除序變無序。

具體的操作如下——

雖然圖片裡寫得很詳細了，⑨老師還是不厭其煩地講解——

“我先把（ ） （ ） （ ）=10這種無序計數暫時先當做a b c=10這種有序計數來做，一般來說，有序枚舉會比無序枚舉簡單，所以我這是采用迂回戰術！

“我可以先假設a是1，然後去枚舉和為9的b與c有多少組，值得注意的是，此時枚舉出來的4、5與5、4算兩種不同情況，因為一種是b=4，另一種是b=5；然後我又假設a是2，然後去枚舉和為8的b與c有多少組；啊、我是不是發現一點規律了？

“更棒的方法其實是插闆法，因為數有多少組(a,b,c)其實就與以下做法的每一種可能性一(yi)一(yi)對應——

“把10個蘋果排成一行，在它們的9個間隔之間任選2個插上隔闆，從而劃分為從左到右的三堆，這三堆的蘋果數形成的數組(a,b,c)的個數就是一個組合數C九二即9×8÷2=36個——”

第一步大功告成！

⑨老師打算乘勝追擊！

“現在已經知道了a b c=10一共有36種情況。接下來第二步，需要對這36種情況進行分類讨論！”

其實，分類也是需要“人為規定”一個順序的，比如⑨老師就規定自己按照“相同的數的個數從多到少”來分類——

第一類，三個數均相同，10÷3無法整除，顯然第一類有0組；

第二類，三個數中有兩個數相同，比如1 1 8=10，在第一步插闆法中，一共會産生(1,1,8)(1,8,1)(8,1,1)共3個與1、1、8相關的、實際上隻能視為一種情況的數組，所以我們應該對第二類的所有情況進行“三合一”處理，也就是“除序”，即“除以三”來消除三種不同順序帶來的重複——通過對重複的數字從小到大的枚舉我們一共找到了(1,1,8)(2,2,6)(3,3,4)(4,4,2)四種屬于第二類的數組，而它們每一個都有另外2個分身，所以在第一步的36種情況中，一共有4×3=12種屬于第二類，那麼第二類經過除序後實際就有——12÷3=4組無序數組；

最後是第三類、這也是情況最多的一類，那就是“三個數互不相同”，使用排除法，a b c=10的一共36種情況中有0 12=12種屬于第一、二類，那麼第三類就剩下了36-12=24種！

這24種都是形如“1 3 6=10”這樣的情況，對于數組(1,3,6)，它還有五個“孿生兄弟”分别是：(1,6,3)(3,1,6)(3,6,1)(6,1,3)(6,3,1)，所以第三類經過除序後實際就有——24÷6=4組無序數組！

綜合以上三類情況，一共就有0 4 4=8組符合（ ） （ ） （ ）=10的無序填法！

接下來，⑨老師回顧了一下“拆數遊戲”的兩種做法——

以上兩種做法都各有特點，第一種有序枚舉法看上去更省事更簡單，第二種先插闆再除序的方法看上去則更迂回卻又在思維層面上更為透徹。

“如果要我來總結兩種方法的共通之處的話，”⑨老師若有所思，“我想要強調的就是——限制自由！”

沒錯、限制自由！

在無序的自由中尋找有序的約束，這種約束，更像是一條幫助解題的線索，對于解題而言，這就仿佛漂浮在“自由之海”上無助的人看見了從輪船上抛下來的“約束之繩”，相信那個時候的那個人不會因為“自由”而心生喜悅，也不會因為“約束”而感到排斥。

接着——

“如果要我來對比兩種方法的不同的話，”⑨老師若有所悟，“我想要強調的就是——更多的束縛往往讓某事物後期更強大！就好像我封印的左眼解開封印時将會引發強大的效果一樣！”

第二種方法看似複雜、無效率，僅僅是因為我們的計數對象還比較少而已！

如果我們把拆數遊戲從“和為10拆3數”推廣到“和為100拆4數”會怎樣呢？

第一種方法還是那麼好用嗎？

“當得知一共有7153種拆法之後，”⑨老師冷笑，“我想沒有人願意再用第一種方法來枚舉啦，隻好編程讓電腦來算。”

而一開始不被看好的方法二，卻能夠用差不多的步驟（先插闆後除序）以及稍微多一點的分類讨論（四數相同、三數相同、兩對兩數相同、僅兩數相同、四數互不相同以及這些分類之間的容斥）來解決。

“說了挺多廢話，”⑨老師覺得偏離主題，打算最後說回到拆數遊戲上來，“其實隻需記住以下這條——

“無序計數需要人為定序、或是先有序再除序！”

數過了正方形，玩過了拆數遊戲，⑨老師興緻仍不減半分，作為“奧術老師”的自我修養似乎讓他更加自律起來，繼續嘗試去數“格點多邊形包含的格子數”——

“想要玩這個定理遊戲”，⑨老師嘀咕，“首先得知道定理本身！”

于是他上網搜索了一下——

以上内容引用自知乎詞條，從中大概可以知道皮克定理與格點多邊形的面積有關。但是⑨老師堅持認為皮克定理更應該用來“數格點多邊形包含的格子數”而非直接算面積——因為單個格子的面積并不總等于1。

——皮克定理到底是做什麼的呢？

“So easy！”⑨老師回答，“皮克定理就是說，一個頂點均在格點上的多邊形内含的方格數恰好等于多邊形内部格點數加上二分之一的多邊形邊上穿過的格點數再減一！”

舉個例子——

你能用皮克定理算出下圖中“愛心多邊形”内含多少個方格嗎？

第一步、數内點數，愛心多邊形内部隻有3個内點（如下圖所示）；

第二步、數邊點數，愛心多邊形兩條邊相交之處（joint）即頂點，除了6個紅色頂點外，不要忘了邊上穿過的格點也要算，所以應該再多2個非頂點的邊點，則一共有8個邊點（如下圖所示）；

第三步、内點數 邊點數÷2-1=3 8÷2-1=6，所以愛心多邊形内含6個方格；

第四步、通過直接數格子去檢驗，内含2個完整方格加4對半格一共确實是6個方格。

如果僅僅是講到這裡，⑨老師知道大部分家長和學生都不會滿意——

其一、皮克定理怎麼來的沒有講清楚；

其二、皮克定理公式怎樣才能快速記住？

恰好這兩點⑨老師都還有所研究，今天就和盤托出了！

先說其二，死記硬背也不是不行——

内點加邊點除以二減一

内點加邊點除以二減一

内點加邊點除以二減一

多背、多用個幾次應該就行了。

但的确非常笨拙，沒有任何爽點。

“我想大家都應該背過圓周率吧？”⑨老師說，“如果想要記住小數點後面很多位，強行找點規律，編個順口溜是不錯的——”

按照上圖這種想法，更勝一籌，⑨老師就給大家講一個聽完就能記住并且還有那麼點道理的小故事——

哈哈！

聽完這個腦洞故事，⑨老師敢保證沒有一個人記不住這個式子！

長期記憶的問題也就解決了！

相信大部分家長、同學到此就會滿意的！

但是肯定仍然有一部分家長、同學會比較較真——

所以讓⑨老師再講下其一、皮克定理怎麼來的！

“是的，你沒聽錯！有我在，小學生也能搞懂皮克定理！”

⑨老師自信地拍拍胸脯，繼續講——

“還記得我之前說過一句英文嗎？Finding order in disorder，也就是在無序中尋找有序，根據數正方形、拆數遊戲的經驗，我們需要從過多的自由中主動增加約束，從而以這條約束為線索，找出解題的思路——

“觀察皮克定理中等量關系——格子數=内點數 邊點數÷2-1，發現格子數與内點、外點都有關，如果内點數、外點數都在變化，那麼就搞不清楚它們分别對格子數的影響了，所以——

“所以！我們需要——控制變量！人為約束一個變量，讓格子數暫時隻與另一個變量有關！”

如下圖所示——

⑨老師精心設計了五個格點多邊形，它們的内部均不包含格點！

既然内點數都是0，那麼格子數就隻和邊點數有關系！

于是從上到下，格點多邊形的邊點數分别是：4、5、6、7、8，而格子數（可直接去數）則分别是：1、1.5、2、2.5、3。

“相信大家不難發現，邊點數每增加1，對格子數的貢獻卻隻有半個！而就算我們把邊點數統統除以2得到：2、2.5、3、3.5、4，這串數也比格子數多1！“

所以通過找規律，我們可以歸納出——格子數=邊點數÷2-1！

找到了格子數與邊點數的關系，接下來我們可以切換待控制的變量——

如下圖所示——

⑨老師精心設計了四個格點多邊形，它們都有4個邊點（上圖紅色點）！

既然邊點數都是4，那麼格子數的變化就隻和内點（上圖綠色點）數的變化有關系！

于是從上到下，格點多邊形的邊點數分别是：4、4、4、4、4，格點多邊形的内點數分别是：0、1、2、3，而格子數（可直接去數）分别是：1、2、3、4。

“相信大家不難發現，當沒有内點時，4個邊點帶來的是1個格子，而後續邊點數不變，内點數每多1，格子數也多1！”

所以通過找規律，我們可以歸納出——格子數=内點數 邊點數÷2-1！

至此！

⑨老師用皮克定理去數格點多邊形内含格子數的推理遊戲就全部結束了！

“如果讓我來總結一下的話，”⑨老師說，“那就是——與數正方形、拆數遊戲一樣！我們不能讓自由失控成為無序，而應該主動控制自由，能夠控制的自由，才是真正的自由！”

探索完三個經典的數學問題，⑨老師終于停了下來。

他把目光投向窗外——

這座城市高樓林立，在陽光的照耀下，刺眼的玻璃幕牆，斑駁掉漆的外立面，界線分明的陰影都是那麼的真實，天空朵朵白雲緩慢地變幻着姿态，似乎一再提醒人們，時間、不要忘了時間正在流逝，看似一成不變的高樓，也在一點一點地落灰與掉漆——但城市的主宰，人類，卻又壯志滿滿，一邊粉刷着牆面，一邊擦拭着玻璃，還不斷把新的建築堆疊在樓宇之間的間隙……

看着這番景象，⑨老師動筆寫下一段感悟——

熱力學第二定理告訴我們，熵随時間增加，整個宇宙朝着更加均勻、更加無序的方向發展；但人類本身卻又用種種行動反抗熵增，甚至在某些局部戰場還反擊成功，比如空調就可以在炎炎夏日讓人們在感受秋日的涼爽……

這讓我不禁想到，人的身體随時間熵增，但人的意識卻努力地追尋熵減，讓他們在人生經曆中不斷反思總結，形成屬于自己的有序信條或原則，但這些規則僅僅是不同人的不同選擇，沒有絕對的好壞之分。

人生隻有一次，所以我們也隻能選擇一次，那麼解出人生難題的方法是什麼呢？

很簡單，和做數學題一樣，弱水三千，隻取一瓢，約束自由，堅持原則，貫徹信念直到最後即可。

願我們堅持做适合自己的事，願我們都有光明的未來！

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