數列極限與函數極限有何異同?大家好，我是專升本數學學霸，這次我們來讨論數列的極限和函數極限以及無窮大和無窮小那你知道數列的極限和函數極限、無窮大和無窮小以及無窮小的比較呢？沒關系，學霸來幫你來了，我來為大家科普一下關于數列極限與函數極限有何異同?下面希望有你要的答案，我們一起來看看吧!

數列極限與函數極限有何異同

大家好，我是專升本數學學霸，這次我們來讨論數列的極限和函數極限以及無窮大和無窮小。那你知道數列的極限和函數極限、無窮大和無窮小以及無窮小的比較呢？沒關系，學霸來幫你來了。

一、數列的極限

講解數列的極限之前，先看看什麼是數列？

數列可以看成幾何上的分散的動點，看成自變量為正整數為n的函數：

當自變量n依次取1,2,3,4,5，……，n,一切正整數數時，函數值就排列成數列{xn}。

設{xn}為一數列，如果存在常數a，對于任意娅給定的正數ε（不論它多麼小），總存在正整數N使得當n>N時，

都成立，那麼就稱常數a是數列{xn}的極限，或者稱數列{xn}收斂于a，記為

收斂數列的性質：

①（極限的唯一性） 如果數列{xn}收斂，那麼它的極限是唯一。

②（收斂數列的有界性）如果數列{xn}收斂，那麼收斂{xn}有界。

③那麼存在整數N，當n>N時,都有xn>0或xn<0。

④如果數列{xn}收斂于a，那麼它的任一子數列也收斂，且極限也是a。

二、函數的極限

1.定義① 設函數f(x)在點x0的某一去心鄰域内有定義，如果存在常數A，對于任意給定正數 ε（不論它多麼小），總存在正數δ，使得當x滿足不定時0<|x-x0|<δ時，對應的函數值f(x)滿足不等式。

那麼常數A就叫做函數f(x)當x→x0時的極限，記住

②設函數f(x)當|x|大于某一正數時有定義，如果存在常數A，，對于任意給定正數 δ（不論它多麼小），總存在正數X，使得當x滿足不等式|x|>X時，對應的函數值f(x)滿足不等式。

那麼常數A就叫做函數f(x)當x→∞時的極限，記住

2.性質

①（函數極限的唯一性）如果 x→x0，f(x)的極限存在，那麼這極限唯一。

②(函數極限的局部有限性)如果 x→x0，f(x)的極限等于A，那麼存在常數M>0和δ>0，使得當0<|x-x0|<δ時，有|f(x)|<=M。

③（函數極限的局部保号性）如果 x→x0，f(x)的極限等于A，且A>0(或A<0),那麼存在常數δ>0,使得當0<|x-x0|<δ時，有f(x)>0(或f(x)<0)。

④（函數極限與數列極限的關系）如果 x→x0，f(x)的極限存在，{xn}為函數f(x)的定義域内任一收斂于x0的數列，且滿足xn≠x0（n∈N ），那麼響應的函數值數列{f(xn)}必收斂，且 （n→∞， f(xn)的極限） = （x→x0，f(x)的極限）。

學霸來給你支招來了。

求極限時，當 x 趨近于某個數值x0時，先看看f(x)的定義域，如果x0在該定義域有意義，直接代入計算。如果無意義，再看看f(x)式子，式子f(x)是分式，自變量在分母，極限是無窮大。如果是 x趨近于負數，式子是根式，極限不存在。 求極限時，當X趨近于無窮大∞時，就直接看式子f(x)，如果式子f(x)是分式，自變量在分母，極限為0；如果式子是整式和根式，極限直接無窮大。

求極限時，如果分子與分母都有自變量，下面就要講到用無窮大和無窮小的求法。

三、無窮大和無窮小 無窮大定義：設函數f(x)在x0的某一去心領域内有定義（或|x|大于某一正數是有定義）。如果對于任意給定的正數 M（不論它多麼大），總存在正數δ（或正數X），隻要x适合不等式 0<|x-x0|<δ（或|x|>X），對應的函數值f(x)總滿足不等式：|f(x)|>M ，那麼稱函數f(x)是當x→x0(或 x→∞)時的無窮大。記住：

定理：在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，那麼 1 / f(x)為無窮小；反之，如果f(x)為無窮小，且f(x)≠0，那麼1/f(x)為無窮大。

2.無窮小

定義：如果函數f(x)當x→x0(或x→∞)時極限為零，那麼稱函數f(x)為當→x0(或x→∞)時的無窮小。

定理：在指不定的同一變化過程x→x0(或x→∞)中，函數f(x)具有極限A充分必要條件是f(x)=A α，其中α是無窮小。

四、無窮小的比較

無窮小的定義

①如果lim β/α=0，那麼說 β是 比 α高階無窮小 ，記住 β=o（α）；

②如果lim β/α=∞，那麼說 β是 比 α底階無窮小;

③如果lim β/α=C≠0，那麼說 β是 與 α同階無窮小;

④如果lim β/（α 的 k次幂）=C≠0，那麼說 β是 與 α的 k 階無窮小;

⑤如果lim β/α=1，那麼說 β 與 α等階無窮小，記住α~β.

無窮小的定理

① β與alp是等價無窮小的充分必要條件為

β=α o(α)

②

以上内容純屬個人總結的觀點，不代表官方的觀點。想藏的朋友，可以點擊收藏。如果覺得我說得對，請點贊。謝謝支持！我會發布更多的專升本數學文章。請大家記住關注專升本數學學霸喲！本人會發布專升本數學文章和視頻。幫助大家考上專升本。謝謝大家的支持

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!