高一數學必修一第二章測評答案

(時間:120分鐘　滿分:150分 命題人：周蓉)

一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)

1.計算:log225·log52=( )

A.3 B.4 C.5 D.6

解析:log225·log52=3,故選A.

答案:A

2.下列幂函數中過點(0,0),(1,1)的偶函數是( )

A.y= B.y=x4 C.y=x-1 D.y=x3

解析:選項A中,y=既不是奇函數也不是偶函數;選項B中,y=x4是偶函數,且過點(0,0),(1,1),滿足題意;選項C中,y=x-1是奇函數;選項D中,y=x3也是奇函數,均不滿足題意.故選B.

答案:B

3.已知函數f(x)=則f的值為 ( )

A.27 B. C.-27 D.-

解析:∵f=log2=-3,

∴f=f(-3)=3-3=.

答案:B

4.滿足"對定義域内任意實數x,y,都有f(x·y)=f(x) f(y)"的函數可以是( )

A.f(x)=x2 B.f(x)=2x

C.f(x)=log2x D.f(x)=eln x

解析:f(xy)=log2xy=log2x log2y=f(x) f(y).

答案:C

5.函數f(x)=的定義域為( )

A.[-2,2 B.(-1,2

C.[-2,0)∪(0,2 D.(-1,0)∪(0,2

解析:要使函數有意義,x應滿足解得-1<x<0或0<x≤2,所以該函數的定義域為(-1,0)∪(0,2 .故選D.

答案:D

6.

導學号03814047三個數a=0.72,b=log20.7,c=20.7之間的大小關系是( )

A.a<c<b B.a<b<c

C.b<a<c D.b<c<a

解析:∵0<a=0.72<1,b=log20.7<0,c=20.7>1.

∴b<a<c.故選C.

答案:C

7.如果一種放射性元素每年的衰減率是8 ,那麼a g的這種物質的半衰期(剩餘量為原來的一半所需的時間)t等于( )

A.lg B.lg

C. D.

解析:設t年後剩餘量為y g,則y=(1-8 )ta=0.92ta.當y=a時,a=0.92ta,

所以0.92t=0.5,則t=log0.920.5=.

答案:C

8.在同一平面直角坐标系中,函數f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax(a>0,且a≠1)的圖象可能是( )

解析:若0<a<1,則函數g(x)=logax的圖象過點(1,0),且單調遞減,函數y=xa(x≥0)單調遞增,且當x∈[0,1)時圖象應在直線y=x的上方,因此A,B均錯;若a>1,則函數g(x)=logax的圖象過點(1,0),且單調遞增,但當x∈[0,1)時,y=xa的圖象應在直線y=x的下方,故C選項錯誤;隻有D項正确.

答案:D

9.函數y=log0.4(-x2 3x 4)的值域是( )

A.(0,2 B.[-2, ∞)

C.(-∞,-2 D.[2, ∞)

解析:-x2 3x 4=-,又-x2 3x 4>0,則0<-x2 3x 4≤,函數y=log0.4X在(0, ∞)内為減函數,則y=log0.4(-x2 3x 4)≥log0.4=-2,故函數的值域為[-2, ∞),選B.

答案:B

10.若函數f(x)=4x-3·2x 3的值域為[1,7 ,則f(x)的定義域為( )

A.(-1,1)∪[2,4 B.(0,1)∪[2,4

C.[2,4 D.(-∞,0 ∪[1,2

解析:設t=2x,則t>0,且y=t2-3t 3=.∵函數f(x)=4x-3·2x 3的值域為[1,7 ,

∴函數y=t2-3t 3的值域為[1,7 .

由y=1得t=1或t=2,由y=7得t=4或t=-1(舍去),則0<t≤1或2≤t≤4,即0<2x≤1或2≤2x≤4,解得x≤0或1≤x≤2.

∴f(x)的定義域是(-∞,0 ∪[1,2 ,故選D.

答案:D

11.如圖,點O為坐标原點,點A(1,1).若函數y=ax(a>0,且a≠1)及y=logbx(b>0,且b≠1)的圖象與線段OA分别交于M,N,且M,N恰好是OA的兩個三等分點,則a,b滿足( )

A.a<b<1 B.b<a<1

C.b>a>1 D.a>b>1

解析:由題圖,得,即a=,logb,即,b==a,且b==1,即a<b<1.故選A.

答案:A

12.已知函數y=的圖象與函數y=logax(a>0,a≠1)的圖象交于點P(x0,y0),如果x0≥2,那麼a的取值範圍是( )

A.[2, ∞) B.[4, ∞)

C.[8, ∞) D.[16, ∞)

解析:由已知中兩函數的圖象交于點P(x0,y0),

由指數函數的性質可知,若x0≥2,

則0<y0≤,即0<logax0≤,

由于x0≥2,所以a>1且≥x0≥2,解得a≥16,故選D.

答案:D

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)

13.如果幂函數f(x)的圖象過點,那麼f(64)= .

解析:設幂函數f(x)=xα(α為常數),将代入,求得α=-,則f(x)=,

所以f(64)=6.

答案:

14.已知(1.40.8)a<(0.81.4)a,則實數a的取值範圍是 .

解析:∵1.40.8>1,0<0.81.4<1,且(1.40.8)a<(0.81.4)a,

∴y=xa為減函數,∴a的取值範圍是(-∞,0).

答案:(-∞,0)

15.設函數f(x)=則f(3) f(4)= .

解析:∵f(x)=

∴f(3)=f(9)=1 log69,f(4)=1 log64,

∴f(3) f(4)=2 log69 log64=2 log636=2 2=4.

答案:4

16.已知函數f(x)=|log3x|的定義域為[a,b ,值域為[0,1 ,若區間[a,b 的長度為b-a,則b-a的最小值為 .

解析:畫出函數圖象,如圖所示.

函數f(x)=|log3x|在區間[a,b 上的值域為[0,1 ,

當|log3x|=0時,x=1,

當|log3x|=1時,x=或3.

由圖可知,b-a的最小值為1-.

答案:

三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)計算:

(1) 0.2-2-π0 ;

(2)log3(9×272) log26-log23 log43×log316.

解(1) 0.2-2-π0

=-1 (3-3

= 25-1 3=.

(2)log3(9×272) log26-log23 log43×log316

=log3[32×(33)2 (log23 log22)-log23 log43×log342=log3[32×36 log22 (log43)×2(log34)

=log338 1 2=8 1 2=11.

18.(本小題滿分12分)已知幂函數y=f(x)的圖象過點(8,m)和(9,3).

(1)求實數m的值;

(2)若函數g(x)=af(x)(a>0,a≠1)在區間[16,36 上的最大值等于最小值的兩倍,求實數a的值.

解(1)設f(x)=xα,依題意可得9α=3,

∴α=,f(x)=,

∴m=f(8)==2.

(2)g(x)=,∵x∈[16,36 ,

∴∈[4,6 ,

當0<a<1時,g(x)max=a4,g(x)min=a6,由題意得a4=2a6,解得a=;

當a>1時,g(x)max=a6,g(x)min=a4,

由題意得a6=2a4,解得a=.

綜上,所求實數a的值為.

19.

導學号03814048(本小題滿分12分)已知a>0且滿足不等式22a 1>25a-2.

(1)求實數a的取值範圍;

(2)求不等式loga(3x 1)<loga(7-5x);

(3)若函數y=loga(2x-1)在區間[1,3 有最小值為-2,求實數a的值.

解(1)∵22a 1>25a-2,∴2a 1>5a-2,即3a<3,

∴a<1.又∵a>0,∴0<a<1.

(2)由(1)知0<a<1,∵loga(3x 1)<loga(7-5x).

∴

∴<x<,即不等式的解集為.

(3)∵0<a<1,∴函數y=loga(2x-1)在區間[1,3 上為減函數.

∴當x=3時,y有最小值為-2,即loga5=-2,

∴a-2==5,解得a=.

20.(本小題滿分12分)已知函數f(x)=(m∈ )為偶函數,且f(3)<f(5).

(1)求函數f(x)的解析式;

(2)若g(x)=loga[f(x)-ax (a>0,且a≠1)在區間[2,3 上為增函數,求實數a的取值範圍.

解(1)∵f(x)為偶函數,∴-2m2 m 3為偶數.

又f(3)<f(5),∴,

即有<1.

∴-2m2 m 3>0,∴-1<m<.

又m∈ ,∴m=0或m=1.

當m=0時,-2m2 m 3=3為奇數(舍去);

當m=1時,-2m2 m 3=2為偶數,符合題意.

∴m=1,f(x)=x2.

(2)由(1)知,g(x)=loga[f(x)-ax =loga(x2-ax)(a>0,且a≠1)在區間[2,3 上為增函數.

令u(x)=x2-ax,y=logau,

①當a>1時,y=logau為增函數,隻需u(x)=x2-ax在區間[2,3 上為增函數,

即⇒1<a<2;

②當0<a<1時,y=logau為減函數,隻需u(x)=x2-ax在區間[2,3 上為減函數,

即⇒a∈⌀.

綜上可知,實數a的取值範圍為(1,2).

21.

導學号03814049(本小題滿分12分)已知函數f(x)=-.

(1)用定義證明函數f(x)在(-∞, ∞)上為減函數;

(2)若x∈[1,2 ,求函數f(x)的值域;

(3)若g(x)= f(x),且當x∈[1,2 時,g(x)≥0恒成立,求實數a的取值範圍.

解(1)函數f(x)的定義域為R,設x1,x2∈R且x1<x2,

則f(x1)-f(x2)=.

∵x1<x2,∴>0.

又 1>0, 1>0,

∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).

∴f(x)在(-∞, ∞)上為減函數.

(2)∵f(x)在(-∞, ∞)上為減函數,∴當x∈[1,2 時,f(x)min=f(2)=-,f(x)max=f(1)=-.

∴當x∈[1,2 時,f(x)的值域為.

(3)由(2)得,當x∈[1,2 時,f(x)∈,

∵g(x)= f(x),∴當x∈[1,2 時,g(x)∈.

∵g(x)≥0在x∈[1,2 上恒成立,

∴≥0,∴a≥.

22.(本小題滿分12分)已知函數f(x)=log2(mx2-2mx 1),m∈R.

(1)若函數f(x)的定義域為R,求m的取值範圍;

(2)設函數g(x)=f(x)-2log4x,若對任意x∈[0,1 ,總有g(2x)-x≤0,求m的取值範圍.

解(1)函數f(x)的定義域為R,即mx2-2mx 1>0在R上恒成立.

當m=0時,1>0恒成立,符合題意;

當m≠0時,必有

解得0<m<1.

綜上,m的取值範圍是[0,1).

(2)∵g(x)=f(x)-2log4x=f(x)-log2x,

∴g(2x)-x=f(2x)-2x=log2(m·22x-2m·2x 1)-2x.

對任意x∈[0,1 ,總有g(2x)-x≤0,等價于log2(m·22x-2m·2x 1)≤2x=log222x在x∈[0,1 上恒成立.

即在x∈[0,1 上恒成立. ( )

設t=2x,則t∈[1,2 ,t2-2t≤0(當且僅當t=2時取等号).

( )式⇔在t∈[1,2 上恒成立. ( )

當t=2時,( )式顯然成立.

當t∈[1,2)時,在t∈[1,2)上恒成立.

令u(t)=-,t∈[1,2).隻需m<u(t)min.

∵u(t)=-=-在區間[1,2 上單調遞增,

∴m<u(t)min=u(1)=1.

令h(t)=,t∈[1,2).隻需m≥h(t)max.

而t2-1>0,t2-2t<0,且h(1)=0,

∴≤0.故m≥0.

綜上,m的取值範圍是[0,1).

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