一篇文章搞定《行列式所有知識點，出題方向，解題方法》————第一篇 行列式展開的深度分析

既然說到了行列式，那麼就不得不提行列式是用來做什麼的，其實，行列式的提出本來是為了解決n個未知量n個方程的線性方程組問題，就像 方程組：

直接解這個方程組十分繁雜，極不現實，那怎麼辦呢？

由克萊姆（Cramer）法則：将上述線性方程組的系數按照順序記作如下的方陣

而後用等号右側的b1b2...bn的豎列分别替換掉D中的第一豎列得到D1，替換第二豎列得D2，以此類推...然後方程組就解完了90%了，剩下的步驟就是：

（一），根據行列式的計算法則（下面會講）判斷D是否等于零。

（二），若等于零，則方程有無窮多個解。若不等于零，則有下列結果：

X1=D1/D X2＝D2/D ... Xn＝Dn/D

這樣就把很複雜的問題變得簡單不少，下面來細細說一下行列式。

一，行列式的展開

行列式其實是對一個n×n方陣做的運算，記作det(A)或者|A|。它更像是我們做的新定義數學題一樣，給定一個n×n的方陣，左右加上兩條類似于絕對值的豎線，就構成了一個計算法則。那麼這個法則究竟是什麼呢？請見下圖，

這究竟是什麼意思呢，用我的理解來說，就是從每一行中抽取一個元素，所抽取的元素不能同列（例如第一行抽a11，那麼剩餘的a21a31...an1都不能被抽取）這樣抽取來的n個元素相乘（例如得到a11a22a33...ann），由排列組合的知識也可以知道展開式總共有n！個項，而且每一個項前的符号由其腳标的逆序數決定，求逆序數的方法參考如下：

将腳标的第一個數字（行标）升序排列，然後将腳标的第二個數字（列标）單獨摘出來，例如12345...n，然後從第一個數開始，将每一個數字左邊比其大的數字的個數找出來并加到一起就得到了逆序數。

而如果我們深入探究一下，将行列式的展開式進行合并同類項操作，化作a11(一堆代數式) a12(一堆代數式) .. a1n(一堆代數式)的形式，我們會發現每一個括号内的“一堆代數式”恰好都是原行列式中劃去a1j所在的行與列後重新形成的行列式，比如：拿a12來說，其所對應的一堆代數式就是如圖所示的行列式，第一行變成了a21a23...a2n

而在數學中，早對此有所定義。劃去行列式中一個元素aij(i代表行數，j代表列數)所得的n-1階行列式，稱為aij的餘子式，記作Mij，而算上符号來說，稱（-1）的i j次方在乘以Mij稱為代數餘子式，記作Aij，不難發現，所以行列式的展開還可以寫成如下的形式

這樣我們就得到了第二個展開定理，但是我們仍不滿足，繼續對原展開式進行分析。假如我們把左上角的a11a12a21a22構成的行列式提出來，留下的恰好是原行列式除去提出來的行列式所剩的代數餘子式，提出來左上角的行列式，總是恰好留下右下角的代數餘子式。

這究竟是個巧合還是一個規律？我們重複這樣的過程，抽取不同的方陣，發現結果都是如此，于是我們得到了更為廣泛的第三條展開定理（拉普拉斯定理）：在n階行列式D=|aij| 中，任意取定k行（列），1≤k≤n-1，由這k行（列）的元素所構成的一切k階子式與其代數餘子式的乘積的和等于行列式D的值。由此看來，第二種展開方法隻是第三種的特殊情況罷了。

展開定理的三種已經全部說完，雖然系統但并不簡便，那如何進行簡便的處理呢？什麼樣的行列式有通解呢？我們下篇再一起探讨。

（文章撰寫不易，絕對100%原創，還請各位老闆支持一下，下篇更精彩！）

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