三角形AMN内接在正方形ABCD中，其中M點在BC上， N點在CD上， 且∠MAN=45°。
證明直線BD将三角形AMN分割成面積相等的兩部分。
證明1： 如圖做AH垂直于BD使垂足為H，
我們設想這是在一張紙上畫好的圖形，三角形ABM沿着AM折疊AB會落在三角形MAN中，三角形AND沿着AN折疊，AD也會落在△AMN内。由于∠BAM ∠DAN=45°，所以折疊後AB和AD一定在AMN内共線，假設為AL為其共線，且L是B和D折疊後所落在内部的共同點，因為∠ALN是∠AND的鏡像，∠ALM是∠ABN的鏡像，所以∠ALN=∠ALM=90°，L隻能落在MN上，即AH⊥MN， 因此AL=AD。
設正方形邊長為2，則AH=√2， AL=2
另外由于∠PAH=45°-∠HAQ (因為∠MAN=45°)
∠QAD=45°-∠HAQ（因為∠HAD=45°）
所以：∠PAH=∠QAD
因而 ∠APQ=∠AND
另外 ∠AND=∠ANL （△AND≌ADL）
∴∠APQ=∠ANL
故△APQ∽△ANM
因為AH=√2， AL=2是各自兩個三角形由同一個頂點出發的高，
根據相似三角形的性質，面積比等于高的比的平方，所以
△AMN的面積/△AQP的面積==2
因此證出BD平分三角形AMN的面積。
證法2：連接MP和QN，
因為∠MAN=∠∠NDQ=45°,所以AQND四點共圓，
那麼QNA=∠QDA=45°,因此∠AQN=90°，即AN=√2AQ
同理可證明BMPA四點共圓，∠MPA=90°，即AM=√2AP
對于有共同頂角∠QAP的△QAP和△NAM其面積比為
因為前面有：
所以：
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