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浙江專升本微分方程筆記

生活 更新时间:2025-03-04 09:01:35
考綱要求
  • 掌握常微分方程的定義
  • 掌握可分離變量的常微分方程的求法

常微分方程的定義：含有自變量x，未知函數y及其導數y'的方程叫做常微分方程。如xy-y′=0;y′′ 2y′-3y-x=0;y′-y=0等。

其中，未知函數導數的最高階數叫做常微分方程的階。

浙江專升本微分方程筆記（廣東專插本高等數學第五章常微分方程）1

【兩個專業名詞】

通解：解中含有表示任意的常數C；

特解：不含任意常數的解。

浙江專升本微分方程筆記（廣東專插本高等數學第五章常微分方程）2

可分離變量的常微分方程求解：形如y′=f1(x)f2(y)，求解該方程時，采用可分離變量的方式。

浙江專升本微分方程筆記（廣東專插本高等數學第五章常微分方程）3

浙江專升本微分方程筆記（廣東專插本高等數學第五章常微分方程）4

浙江專升本微分方程筆記（廣東專插本高等數學第五章常微分方程）5

  • 掌握一階線性微分方程的求解
  • 掌握二階（常系數齊次線性）微分方程的求解

一階線性微分方程：如y′ P(x)y=Q(x)，即可用一階線性微分方程的公式：y=e^(-∫P(x)dx) [∫Q(x)(e^∫1P(x)dx)dx C].遇到這種題目時，一定要寫對公式，注意一個積分符号搭配一個dx。

浙江專升本微分方程筆記（廣東專插本高等數學第五章常微分方程）6

浙江專升本微分方程筆記（廣東專插本高等數學第五章常微分方程）7

二階微分方程求解：形如y′′ py′ qy=0

[特征方程法]r^2 pr q=0

對于此一元二次方程

1.當有2個不同的實根r1,r2, y=C1e^(r1x) C2e^(r2x)

2.當有2個相同的實根r1=r2=r, y=(C1 C2x)e^rx

3.當有2個虛根r1=α βi,r2=α-βi, y=e^αx (C1cosβx C2sinβx)

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