大家好，今天喵小咪要跟大家一起觀看三分藍大賽，尋找抛物線運動的規律，并一起來建立抛物線的運動方程。其實抛物線運動是我們日常生活中接觸到的最多的運動類型之一，它是我們生活中普遍的運動情況，我們生活中的跑跑跳跳，随手扔出去個東西，都是抛物線運動。在運動場上，各種曲線運動更是常見，比如：投出去的籃球、踢出去的足球，乒乓球、标槍、鐵餅、鉛球、跳高、跳遠莫不如此。

圖1 很抱歉視頻内容沒通過審核，隻好用圖片代替了

通過觀察籃球的運行軌迹，我們會發現以下幾個特點：1、球出手瞬間，其運動方向與水平方向的夾角幾乎相等；2、球射入籃筐的運動方向與籃筐所在平面的夾角都差不多；3、球的最大高度幾乎相等；4、球從出手到飛進籃筐的時間幾乎相等；5、運動員所站位置與籃筐距離基本上相等；6、運動員采用的投籃動作基本一緻。而這六個參數均跟球員的投籃位置無關。

圖2 籃球出手後的運動路線示意圖

進一步觀察不同的球員投籃，會發現其它幾個問題：1、個子矮的球員，球出手的瞬間運動方向與水平方向的夾角要比個子高的球員抛出的球的出手瞬間運動方向與水平方向的夾角更大；2、球射入籃筐瞬間的運動方向與籃筐所在平面的夾角都差不多；3、球在空中的飛行時間不同，個子矮的球員抛出的球飛行時間略長；4、如果以運動員投球的出手瞬間高度作為測量基準，球在空中的飛行高度不同，個子矮的球員投出的籃球飛行高度要更高。

圖3 按幀截取的籃球運動軌迹

那麼，我們觀察到的這些球迹線中是不是蘊含着什麼秘密呢？圖3是我對視頻按幀截屏後繪制的球迹線。由于不是高速攝像機拍攝的畫面，數據有些粗糙。另外，攝像機處于運動員後方45°角位置拍攝，所以軌迹對稱性不是太好。

根據圖片收集到的相關數據：1、該視頻為每秒25幀；2、從投球到進入籃筐共40幀畫面中，選取了13個有球的畫面；3、籃球在空中飛行時間為40/25=1.6秒；4、該場地為國際标準籃球場，3分線位置為6.75米；5、籃球的水平運動速率為：6.75/1.6≈4.219米/秒。

圖4 建立投籃坐标系示意圖

我們還可以發現：1、球迹線基本上呈現出以經過最高點處的垂線為對稱軸的對稱的形狀；2、籃球出手瞬間運動方向接近45°；3、籃球在水平方向每一幀走過的距離相等、而在垂直方向是一個上抛運動。

如果不計空氣浮力和阻力的作用，籃球隻受到重力的作用，籃球在飛行的過程中的運動，可以分解為在水平方向上的勻速直線運動與垂直方向的上抛運動的合成。

根據上述分析我們建立對應的坐标系。（如圖4）我們可以寫出籃球的運動方程為ｙ＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ，其中ａ，ｂ，ｃ為常數，可以由抛物線經過的出手點、進球點，以及出手角度決定。由于我們這次視頻不是為了采集數據錄制的視頻，畫面上的數據不精确，所以這次我們就不做計算了。

圖5　籃筐、籃球、進球角度示意圖

一、空心藍的進球要求。

見圖5，圖中ＡＢ是籃圈的直徑，ＡＣ為籃球的直徑。當籃球在籃圈的上方附近時定義一個進球角度θ，當θ＝０時，球會垂直向下進入籃圈。反之，θ如果太大，籃球将會集中籃圈彈走。因此有一個最大的進球角θmax，當0＜θ＜θmax時，球會空心入筐。參考标準籃球直徑(dB)為 24.6厘米，而籃圈直徑(dR)為45厘米。cosθ=AC/AB=24.6/45得到θ≈60°，也就是說，當籃球的進球角度小于60°時，形成空心藍的幾率最大。

圖6 籃球入筐角度示意圖

二、三分線位置的籃球出手角度和速度

籃球在運動員投擲後，離開運動員的手之後，其球迹線就是以接近抛物線在運動。如果籃球的出手速度合适，初始速度方向與水平面的夾角适中，籃球在空中就會劃出一個完美的球迹線。 這個球迹線就是抛物線包括頂點部分的一大段。投籃的角度直接影響其球迹線的平緩程度。角度越大，球迹線越陡； 角度越小，球迹線越平緩。所以，為了得到更好的投籃效果，一定要把握好籃球出手瞬間的速度和角度。（如圖6）

圖7 籃球受空氣阻力示意圖

三、空氣阻力的風阻影響

入圖7所示，我們前面給出的計算實際上是忽略了籃球在運動中所受到的空氣阻力的影響。實際上，籃球在運動過程中要受到與運動方向相反的空氣阻力的影響。在上升段，空氣阻力方向向下；在下降段，空氣阻力的方向向上。

根據伯努利方程得出的風速－風壓關系，風的動壓為：wp=0.5·ρ·v² ，其中wp為風壓[kN/m²]，ρ為空氣密度[kg/m³]，v為風速[m/s]。由于空氣密度ρ和重度r的關系為 r=ρ·g, 因此有 ρ=r/g。可以得到：wp=0.5·r·v²/g 。此式為标準風壓公式。在标準狀态下(氣壓為1013 hPa, 溫度為15°C), 重度：r=0.01225[kN/m³]。緯度為45°處的重力加速度g=9.8[m/s²], 我們得到：wp=v²/1600 。

我們根據籃球的直徑可以求出籃球的截面積S=πrd^2≈0.0475m^2，我們将籃球的飛行速度代入上面的風壓公式，可以得到籃球出手瞬間受到的水平方向空氣阻力F≈0.528牛，我們以籃球的質量為0.6Kg來計算，其産生的加速度≈0.88m/s^2。我們看到這個量還是很大的，在三分藍中是一個不可以忽略的量。

在水平方向，阻力為唯一的作用力。阻力破壞了籃球運動軌迹的對稱性，一直起到讓籃球在水平方向的運動速度減速的作用，所以我們看到籃球的實際運行軌迹在标準抛物線的下方。

在垂直方向，由于重力的影響，在垂直方向的速度變化比較大。空氣阻力對于籃球在垂直階段的影響是：上升階段受力為重力 阻力-浮力；下降階段為重力-阻力-浮力。阻力的大小與籃球垂直運動的速度的平方成正比，所以在垂直方向，阻力的影響比浮力要小。

圖8 空氣浮力的影響示意圖

四、籃球受到的空氣浮力的影響

籃球受到的空氣的浮力等于籃球排開的空氣的重量，F浮=ρ.g.V排，其中，F浮就是空氣對籃球的浮力；ρ是空氣的密度，大約1.29kg/m^3；g是重力加速度，我們這裡取9.8m/s^2；V排就是籃球的體積，約為0.0078m^3。把這些數據代入上面的公式，我們得到空氣對籃球的浮力大概是0.0986牛頓。籃球受到的重力：F重=mg，其中，F重是籃球受到的重力，m是籃球的質量，約600克，g是重力加速度，取9.8m/s^2。帶入公式計算，籃球的重力大概是5.88牛頓。

對比籃球受到的重力和浮力，我們可以看到，空氣對籃球的浮力大概是籃球重力的1.7%，也就是說，籃球拿在手上比實際重量輕了1.7%，這是由于籃球受到了空氣浮力作用的緣故。在重力和浮力的共同作用下，當g=9.8m/s^2時，籃球在垂直方向上的實際加速度≈9.6m/s^2

圖9 馬格納斯力示意圖

五、馬格納斯力對籃球運行軌迹的影響

在現場看球，并且非常細心的小夥伴可能會發現，有時候，某些球員投出的籃球在空中的運行路線會跟标準的抛物線産生微小的偏折，這是因為空氣摩擦不均勻造成的，這種力叫做馬格納斯力。這種力隻有在籃球旋轉時才起作用。回旋球馬格納斯力原理為：球在運動過程中，由于旋轉，根據相對運動原理，通過球體上方的流速會加快，而球體下方的流速會減慢。籃球在快速運動的過程中，會産生一個分離點并在球體後方産生紊流，在紊流尾流中的壓力低于作用在球體前段的壓力而此壓力差會産生阻力分力，這個力始終與運動方向垂直，不斷改變籃球的飛行路線，形成弧線球（如圖9）。

馬格納斯力可以有儒可夫斯基環流計算得出：F=8πρwr^3v/3。在後旋球時，産生的馬格納斯力可以将球向上托起，從而相應地增加了球的飛行弧度，增大了入藍的角度，也必然增大入射截面。馬格納斯效應對旋轉行進的籃球會造成不小的影響。由于本次視頻實在是太模糊了，隻能看到籃球的影子，根本看不出來是否旋轉，所以此處的詳細計算就略去了。

一、對三分藍的視頻的分析

我們得出投三分球的幾個要點，1、籃球出手後的軌迹接近一條抛物線；2、在出手角度為45°附近時，隻要籃球的出手速度穩定，命中籃筐中心的幾率就非常高；3、距離更遠的超遠距離投籃需要更高的出手速度，阻力的影響急劇增加，命中藍心的幾率大幅度下降。所以NBA的三分線雖然隻增加了不到10%的距離，但是命中率下降很多。4、如果籃球出手後，運行時間短，出手速度低，阻力就可以忽略不計，所以，同樣條件下，近距離投籃的命中率是遠高于遠距離投籃。

二、對整個研究過程的評價

本次探讨，我們首先是對一段三分球大賽的片段進行了認真仔細的觀測，并且利用視頻工具，對該視頻進行了按幀截圖處理。并根據截圖畫面繪制了三分藍的籃球運行軌迹。其次，我們通過将軌迹代入理想抛物線方程，繪制出理想軌迹。第三，我們又綜合了阻力和浮力因素，對理想軌迹和實際軌迹的差異進行了定量分析。

三、本文中的目前存在的缺陷

本次探讨中，首先，沒有考慮籃球撞到籃圈和打闆的情況，事實上，這兩種情況是經常出現的。其次，本次探讨隻針對了某個球員的一次發揮，并沒有考慮不同球員在不同情況下的影響；第三，由于缺乏更詳實的數據，并沒有對球迹進行進一步的精确計算。

四、探讨籃球飛行軌迹的題外意義

科學的研究過程是：觀察客觀事物，對現象進行定量測量，建立數學模型，再利用數學模型與實際測量數據進行比對，以驗證模型的正确性。這也是老郭如此用心寫此文的另外一個目的：希望大家通過對籃球飛行軌迹的分析過程，學習科學的研究的正确方法。

1、《籃球中的物理規律》|《科學》2006年 第6期 | 江進武 中科院理論物理所博士

2、《對籃球空心入網的力學要素理論模型的初步研究》|黃愛慶|哈爾濱工程大學|2009

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