數列是高中數學的重點知識，也是性價比非常高的一個知識闆塊。性價比高是因為書上内容少，但是考試分值卻很高。比如在全國三卷的試題中，數列的分值一般在10分到12分。

本文和大家分享的這道1994年的高考數學壓軸題就是一道數列綜合題。将這道題拿給高二學生做後，不少同學表示題目很簡單。接下來我們一起來看一下這道題。

題目見上圖，我們先來看第一問。

在做第一問之前，我們先複習兩個知識點：等差中項和等比中項。

如果a、b、c成等差數列，則b為a、c的等差中項，且b=(a c)/2。

如果A、B、C為等比數列，則B為A、C的等比中項，且B=√AC。

所以根據題意就可以得到：(an 2)/2=√(2Sn)。

然後分别将n=1,2,3代入即可求出數列的前三項。

第二問有兩種比較常用的解法，下面分别講解。

解法一：遞推法求數列通項公式

因為(an 2)/2=√(2Sn)，即知道了前n項和Sn與an的關系，此時求通項公式的思路就是Sn和an兩個隻留一個，另外一個想辦法消去。

本題中，由(an 2)/2=√(2Sn)可以得到：

[a(n 1) 2]/2=√[2S(n 1)]。然後兩式相減就可以得到兩項之間的關系，接着再求通項公式即可。

解法一用到的就是遞推法求數列通項公式，這也是近幾年數列的重要考點。

解法二：數學歸納法

先觀察第一問得到的答案，很容易發現前3項中，後項與前項之差都為4，而這剛好符合等差數列的定義，所以可以先猜想這是一個等差數列，且an=4n-2。接下來就需要用數學歸納法證明這個結論。

①當n=1時，a1=2，與(1)的值相同，結論成立。

②假設n=k時結論成立，代入關系式可以得到Sk=2k^2。然後證明當n=k 1時，結論也成立，即a(k 1)=4(k 1)-2。這裡面就需要用到S(k 1)=Sk a(k 1)這個隐藏關系。詳細過程見下圖：

最後再來看第三問。

這一問看似是極限問題，但是難點并不是求極限，而是對要求極限的表達式的變形。

首先将an的通項公式代入bn并化簡，得到：bn=(4n^2 1)/(2n-1)(2n 1)。

到這一步後，如果直接代入所求極限的式子，後面會非常難處理。但是觀察後可以發現，所求極限的式子減去了n，而bn也剛好是n項，所以可以每項減去“1”，化簡後得到：bn-1=1/(2n-1)-1/(2n 1)。

此時就非常明顯，接下來隻需要用裂項相消即可對所求極限的式子進行化簡，然後可以輕松得到答案。

這道1994年高考數學壓軸題就分享到這裡！你覺得難嗎？

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