楊輝三角形是一種數型，也叫帕斯卡三角形。

楊輝三角是數字的三角形排列，它給出了任何二項式表達式展開時的系數。這些數字排列得像個三角形。首先，1放在頂部，然後我們開始把數字放在一個三角形的模式。我們每一步得到的數字是上述兩個數字的加法。

楊輝三角形

大多數人是通過一套看似随意的規則認識楊輝三角形的。從上面的1開始，在三角形的兩邊都是1。每一個新數都位于兩個數及其以下，它的值是上面兩個數的和。理論上的三角形是無限的，并永遠向下延伸，但隻有前6條線出現在下圖1。

楊輝三角形的構建

構造三角形最簡單的方法是從第0行開始，隻寫數字1。從這裡開始，要得到下面幾行數字，将數字的正上方和正右側的數字相加。如果左邊或右邊沒有數字，則為缺少的數字替換一個零，然後繼續進行加法。這是第0行到第5行的圖解。

從上圖中，如果我們對角線看，第一條對角線是1的列表，第二條對角線是計數數列表，第三條對角線是三角形數字列表，以此類推。

怎樣利用楊輝三角形?

楊輝三角形可用于各種概率條件。假設我們抛硬币一次，那麼隻有兩種可能的結果，正面(H)或反面(T)。

如果抛兩次，有一種可能是兩面都是正面HH，兩面都是反面TT，但至少是正面或反面有兩種可能，也就是HT或TH。

現在你可以考慮楊輝三角形是如何幫助你的。

讓我們看看這裡給出的基于投擲次數和結果的表格。

我們也可以通過增加投擲次數擴展。

楊輝三角形的形态

1)行相加:這個三角形的一個有趣的性質是，一行數字的和等于

其中n為行号:

1 = 1 =

1 1 = 2 =

1 2 1 = 4 =

1 3 3 1 = 8 =

1 4 6 4 1 = 16 =

2)三角形中的質數:三角形中另一個可見的模式處理質數。如果一行是素數行，那一行中的所有數字(不包括1)都能被這個素數整除。例如我們看第5行(1 5 10 10 5 1)，我們可以看到5和10能被5整除。

3)三角中的斐波那契數列:将帕斯卡三角形對角線上的數相加，得到的斐波那契數列如下圖所示。

楊輝三角的特性

• 每個數字是上面兩個數字的和。
• 外部數字均為1。
• 三角形是對稱的。
• 第一個對角線表示正在計數的數字。
• 行的和是2的幂。
• 每行都是11的乘方數，比如第五行為=14641。
• 每個數字都是“二項式系數”。
• 斐波那契數列在對角線上。

這是一個18行的楊輝三角形;

公式

求楊輝三角形第n行第k列元素項的公式為:

楊輝三角形的二項式擴展應用

楊輝三角形定義了出現在二項展開式中的系數。這意味着楊輝三角形的第n行包含多項式展開表達式的系數, 它的展開式為：

上面展開式的系數Cn（r）恰好是楊輝三角形第n行中的數字。即：

令a=b=1, 那麼：

二項式的第r 1項的求法按公式：

二項式的系數有很多性質，如：

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