很多時候，我們知道三角形三邊的長，要求三角形的面積。你知道怎樣求嗎？

設三角形三邊長為a、b、c，作c邊上的高h把c分成兩段x和y。我們的做法是先求出高h的長度，進而用最基本的面積公式S△ABC=ch/2求出三角形的面積。

三角形面積公式推導

由勾股定理得：

a²-x²=b²-y²，①

x y=c。②

②代入①得：

a²-x²=b²-(c-x)²=b²-c²-x² 2cx，

x=(a² c²-b²)/2c。③

③代入②得：

y=(b² c²-a²)/2c。④

我們用③或④都可以求出h。

h²=a²-x²

=a²-((a² c²-b²)/2c)²

=(2a²b² 2b²c² 2c²a²-a⁴-b⁴-c⁴)/4c²

這樣得到的h有四次方，數據比較大，不太好算。我們可以想辦法化成好算的形式。

我們看它的分子部分：

2a²b² 2b²c² 2c²a²-a⁴-b⁴-c⁴

這是一種對稱形式，應該可以分解因式。那麼，怎樣去分解因式呢？

我們先考察以下多項式的平方：

(a² b² c²)²

=a⁴ b⁴ c⁴ 2a²b² 2a²c² 2b²c²，

(a² b²-c²)²

=a⁴ b⁴ c⁴ 2a²b²-2a²c²-2b²c²，即

-(a² b²-c²)²

=-a⁴-b⁴-c⁴-2a²b² 2a²c² 2b²c²，

這個有點像，還有一個項符号不同。

等式兩邊同時加上4a²b²：

4a²b²-(a² b²-c²)²

=-a⁴-b⁴-c⁴ 2a²b² 2a²c² 2b²c²

所以有

-a⁴-b⁴-c⁴ 2a²b² 2a²c² 2b²c²

=4a²b²-(a² b²-c²)²

=(2ab a² b²-c²)(2ab-a²-b² c²)

=((a b)²-c²)(c²-(a²-b²))

=(a b c)(a b-c)(c a-b)(c-a b)

所以，

h²=(a b c)(a b-c)(c a-b)(c-a b)/4c²，

h=√((a b c)(a b-c)(c a-b)(c-a b))/2c，

S△ABC=ch/2

=√((a b c)(a b-c)(c a-b)(c-a b))/4。

這個三角形面積公式沒有平方項，比較好算。

還可以把4放進根号裡面繼續化簡：

S△ABC

=√(((a b c)(a b-c)(c a-b)(c-a b))/16)

=√(((a b c)/2)((a b-c)/2)((c a-b)/2)((c-a b)/2))

=√(((a b c)/2)((a b c-2c)/2)((c a b-2b)/2)((c a b-2a)/2))

(a b c)/2是周長的一半，記為p，則

S△ABC=√(p(p-a)(p-b)(p-c))。

這就是著名的海倫公式。這種形式計算量最小，也比較好記。

總結一下：在推導用三角形的三邊長求三角形的面積時，在化簡過程中遇到分解因式，最終化成比較簡便的形式，便于計算和記憶。

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