八年級上冊數學第十一章《三角形》知識點總結

一、知識框架：

二、知識概念：

（一）與三角形有關的線段

1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

2.三角形按邊分類

三角形的任意兩邊之和大于第三邊。（依據是：兩點之間，線段最短。）

三角形的任意兩邊之差小于第三邊。

4．三角形的高

①AD是△ABC的高；

②AD⊥BC，垂足為D；

③D在BC上，且∠ADB＝∠ADC＝90°.

(3)性質特點：

①因為高是通過作垂線得出的，因而有高一定有垂直和直角．常用關系式為：

因為AD是BC邊上的高，

所以∠ADB＝∠ADC＝90°.

②“三角形的三條高(所在直線)交于一點”

當是銳角三角形時，這點在三角形内部；

當是直角三角形時，這點在三角形直角頂點上；

當是鈍角三角形時，這點在三角形外部．如圖所示．

③三角形面積公式：S△ABC=1/2BC·AD

5．三角形的中線

(1)定義：三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線．

(2)描述方法：三角形中線的描述方法有兩種方式，如圖．

②間接描述：D是BC邊上的中點．

(3)性質特點：

①由三角形中線定義可知，有中線就有相等的線段，如上圖中，因為AD是BC邊上的中線，所以BD＝CD(或BD＝1/2BC，DC＝1/2BC)．

②如下圖所示，一個三角形有三條中線，每條邊上各有一條，三角形的三條中線交于一點．不論是銳角三角形、直角三角形，還是鈍角三角形，三角形的三條中線都交于三角形内部一點．

三角形三條中線的交點叫做三角形的重心．

③面積問題：三角形的中線平分三角形的面積（理由：等底同高）（重點）

如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，則S△ABD＝S△ACD＝1/2S△ABC.

因為BD＝CD，△ABD和△ADC等底同高，所以面積相等，因此通過作三角形的中線可将三角形分成面積相等的兩部分．

④周長問題：如圖所示，AD是BC邊上的中線，△ABD和△ACD的周長之差實質上就是AB與AC的差，這也是三角形中線中常出現的問題．

(1)定義：三角形中，一個内角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線．

(2)描述方法：角平分線的描述有三種，如圖．

①直接描述：AD是△ABC的角平分線；

②在△ABC中，∠1=∠2，且D在BC上；

③AD平分∠BAC，交BC于點D.

(3)性質特點：

①由三角形角平分線的定義可知，有角平分線就有相等的角，如上圖中，因為AD是△ABC的角平分線，所以∠1=∠2(或∠1=∠2=2(1)∠BAC，或∠BAC=2∠1=2∠2)．

②一個三角形有三條角平分線，三角形的三條角平分線交于一點，不論是銳角三角形、直角三角形，還是鈍角三角形，這個交點都在三角形内部．

三角形具有穩定性，四邊形不具有穩定性

（二）與三角形有關的角

1.三角形的内角

①. 三角形的内角和定理

三角形的内角和為180°，與三角形的形狀無關。

②. 直角三角形兩個銳角的關系

直角三角形的兩個銳角互餘（相加為90°）。

有兩個角互餘的三角形是直角三角形。

2.三角形的外角

①. 三角形外角的定義

三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角。

②. 三角形外角的性質

三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個内角之和。

三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個内角。

三角形外角和為360°，與三角形的形狀無關。

（三）多邊形

多邊形：在平面内，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

多邊形的内角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的内角.

多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.

多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

正多邊形：在平面内，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫正多邊形.

與多邊形有關的公式：

①從n邊形的一個頂點出發可以引(n-3)條對角線；

②n邊形共有n(n-3)/2條對角線；

③從n邊形的一個頂點出發引出的對角線把多邊形分成(n-2)個三角形；

④n邊形的内角和等于(n-2)·180°；

⑤多邊形的外角和為360°；

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