16世紀之前，人們認為地球處于中心，而太陽和其他行星圍繞着它轉。後來，哥白尼提出了“日心說”，把太陽放在中心，地球和其他行星圍繞着太陽轉。雖然哥白尼的日心說是一項壯舉，但該理論中行星是圓軌道，為了與觀測數據相符，需要添加一個又一個的本輪。
16世紀末期，開普勒分析了他的老師第谷留下來的觀測數據，整理出了著名的開普勒三大定律，其中第一定律又稱為橢圓定律：所有行星軌道都是橢圓，太陽處于其焦點。我們想，開普勒是從實踐中得出橢圓軌道，那麼如何才能從理論上推導出橢圓軌道。
為了做到這一點，我們需要知道橢圓的數學表達式。在高中，我們都學過直角坐标系下的橢圓标準方程：
如上圖，參數a、b、c所代表的含義都已标明，我們主要還有：偏心率e=c/a，半正焦弦l=a(1-e^2)。
事實上，在分析行星運動時，坐标原點取太陽中心比取橢圓中心更為自然。因此，我們将用極坐标系(r, θ)代替直角坐标系(x, y)。我們選取焦點F2為原點，于是有下面的關系：
把它代入上述直角坐标系方程中，得到：
求解這個方程，并剔除掉使r成負數的解，我們就可以得到橢圓在極坐标系下的方程：
為了等下推導行星軌道更容易看出橢圓方程，我們用半正焦弦l代替，并重新排列方程：
在這裡，我們要寫出極坐标下的行星能量方程和角動量方程。
請注意，在極坐标下，速度包含了兩部分：平行r方向的速度和垂直r方向的速度。因此，我們可以列出能量方程=動能 勢能：
其中，k=GMm。而角動量方程為：
聯立兩個方程，我們可以得到：
因為行星軌道方程與時間無關，所以我們可以利用鍊式法則消去dt，如下：
代入上面的式子就得到：
注意，這裡還要用到一個常用的技巧：令u=1/r，這會使數學計算更容易一點。這裡我們就不給出繁瑣的計算過程，直接給出最終的軌道方程：
是不是和極坐标下的橢圓方程形式相同，其中偏心率e：
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