《二次函數》全章複習與鞏固

【學習目标】

1、通過對實際問題情境的分析确定二次函數的表達式，并體會二次函數的意義；

2、會用描點法畫出二次函數的圖象，能從圖象上認識二次函數的性質；

3、會根據公式确定圖象的頂點、開口方向和對稱軸 ( 公式不要求記憶和推導 )，

并能解決簡單的實際問題；

【知識網絡】

【知識點梳理】

1、二次函數的定義

一般地，如果 y = ax2 bx c ( a , b , c , 是常數，a ≠ 0 )，那麼 y 叫做 x 的二次函數 .

注：

如果 y = ax2 bx c ( a , b , c 是常數，a ≠ 0 )，那麼 y 叫做 x 的二次函數．

這裡，當 a = 0 時就不是二次函數了，但 b、c 可分别為零，也可以同時都為零．

a 的絕對值越大，抛物線的開口越小 .

2、二次函數的圖象與性質

（1） 二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

幾種特殊的二次函數的圖象特征如下：

（2） 抛物線的三要素：

開口方向、對稱軸、頂點 .

① a 的符号決定抛物線的開口方向：

當 a > 0 時，開口向上；

當 a < 0 時，開口向下；

|a| 相等，抛物線的開口大小、形狀相同.

② 平行于 y 軸 ( 或重合 ) 的直線記作 x = h .

特别地 ，y 軸記作直線 x = 0 .

（3） 抛物線 y = ax2 bx c ( a ≠ 0 ) 中，a , b , c 的作用：

1. a 決定開口方向及開口大小，這與 y = ax2 中的 a 完全一樣 .

2. b 和 c 共同決定抛物線對稱軸的位置 .

由于抛物線 y = ax2 bx c 的對稱軸是直線 x = -b/2a，故：

① b = 0 時，對稱軸為 y 軸；

② b/a > 0 ( 即 a、b 同号 ) 時，對稱軸在 y 軸左側；

③ b/a < 0 ( 即 a、b 異号 ) 時，對稱軸在 y 軸右側 .

3. c 的大小決定抛物線 y = ax2 bx c 與 y 軸交點的位置 .

當 x = 0 時，y = c，

∴ 抛物線 y = ax2 bx c 與 y 軸有且隻有一個交點 ( 0，c )：

① c = 0 ，抛物線經過原點；

② c > 0，與 y 軸交于正半軸；

③ c < 0，與 y 軸交于負半軸 .

以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立 . 如抛物線的對稱軸在 y 軸右側，則 b/a < 0 .

（4） 用待定系數法求二次函數的解析式：

① 一般式： y = ax2 bx c ( a , b , c , 是常數，a ≠ 0 ) .

已知圖象上三點或三對 x 、y 的值，通常選擇一般式 .

② 頂點式：y = a（x - h）2 k ( a ≠ 0 ) .

已知圖象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式 .

③ 交點式：已知圖象與 x 軸的交點坐标 x1 、x2，通常選用交點式：

y = a（x - x1）（x - x2） （a ≠ 0）. （由此得根與系數的關系：x1 x2 = -b/a , x1x2 = c/a）.

注：

求抛物線 y = ax2 bx c（a≠0）的對稱軸和頂點坐标通常用三種方法：

配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優缺點，應根據實際靈活選擇和運用．

3、二次函數與一元二次方程的關系

函數 y = ax2 bx c（a≠0），當 y = 0 時，得到一元二次方程 ax2 bx c = 0 （a≠0），

那麼一元二次方程的解就是二次函數的圖象與 x 軸交點的橫坐标，

因此二次函數圖象與 x 軸的交點情況決定一元二次方程根的情況 .

(1) 當二次函數的圖象與 x 軸有兩個交點，這時 △ = b2 - 4ac > 0 ，則方程有兩個不相等實根；

(2) 當二次函數的圖象與 x 軸有且隻有一個交點，這時 △ = b2 - 4ac = 0 ，則方程有兩個相等實根；

(3) 當二次函數的圖象與 x 軸沒有交點，這時 △ = b2 - 4ac < 0 ，則方程沒有實根 .

通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數圖象和一元二次方程的關系：

4、利用二次函數解決實際問題

利用二次函數解決實際問題，要建立數學模型，即把實際問題轉化為二次函數問題，

利用題中存在的公式、内含的規律等相等關系，建立函數關系式，

再利用函數的圖象及性質去研究問題.

在研究實際問題時要注意自變量的取值範圍應具有實際意義 .

利用二次函數解決實際問題的一般步驟是：

(1) 建立适當的平面直角坐标系；

(2) 把實際問題中的一些數據與點的坐标聯系起來；

(3) 用待定系數法求出抛物線的關系式；

(4) 利用二次函數的圖象及其性質去分析問題、解決問題 .

注：

常見的問題：

求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、抛物體、抛物線的模型問題等.

解決這些實際問題關鍵是找等量關系，把實際問題轉化為函數問題，列出相關的函數關系式 .

【典型例題】

類型一、求二次函數的解析式

【例題1】已知抛物線的頂點是 (3，-2)，且在 x 軸上截得的線段長為 6，求抛物線的解析式．

【思路點撥】

已知抛物線的頂點是 (3，-2)，可設抛物線解析式為頂點式，即 y = a（x - 3）2 - 2，

也就是 y = ax2 - 6ax 9a - 2，再由在 x 軸上截得的線段長為 6 建立方程求出 a．

也可根據抛物線的對稱軸是直線 x＝3，在 x 軸上截得的線段長為 6，

則與 x 軸的交點為 (0，0) 和 (6，0)，因此可設 y＝a( x - 0 ) · ( x - 6 )．

【答案與解析】

【點評】

求抛物線解析式時，根據題目條件，恰當選擇關系式，可使問題變得簡單．

類型二、根據二次函數圖象及性質判斷代數式的符号

【例題2】 函數 y = ax b 和 y = ax2 bx c（a ≠ 0）在同一直角坐标系内的圖象大緻是（ ）

【答案】C；

【解析】

∵ a≠0，

∴ 分 a＞0，a＜0 兩種情況來讨論兩函數圖象的分布情況．

若 a＞0，則 y＝ax b 的圖象必經過第一、三象限，y = ax2 bx c 的圖象開口向上，可排除 D．

若 a＞0，b＞0，則 y＝ax b 的圖象與 y 軸的交點在 y 軸的正半軸上，

y = ax2 bx c 的圖象的對稱軸在 y 軸的左側，故 B 不正确．

若 a＞0，b＜0，則 y＝ax b 的圖象與 y 軸的交點在 y 軸的負半軸上，

y = ax2 bx c 的圖象的對稱軸在 y 軸的右側，故 C 正确．

若 a＜0，則 y＝ax b 的圖象必經過第二、四象限，

y = ax2 bx c 的圖象開口向下，故 A 不正确．

【點評】

在同一直角坐标系中研究兩種函數圖象的分布情況，待定系數 a，b 滿足一緻性，

因此讨論 a，b 符号的一緻性成為解決本題的關鍵所在．

事實上，a，b 的符号既決定了一次函數圖象的分布情況，

又決定了抛物線的開口方向和對稱軸的位置．

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