上一講我們讨論了直線的斜率，直線好說，關鍵是曲線怎麼辦？曲線跟直線不同，它完全可以在這裡平緩一點，在那裡陡峭一點，它在不同地方的傾斜程度是不一樣的。所以，我們就不能說一條曲線的傾斜程度（“斜率”），而隻能說曲線在某個具體點的傾斜程度。
于是，我們就需要引入一個新的概念：切線。
切線，直觀地看，就是剛好在這點“碰到”曲線的直線。因為切線是直線，所以切線有斜率，于是我們就可以用切線的斜率代表曲線在這點的傾斜程度。
傳統上我們可以這樣定義切線：先随便畫一個直線，讓這條直線與曲線有兩個交點，這樣的直線叫割線（仿佛把曲線“割斷”了，如下圖藍色的AB）。然後，我們讓B點沿着曲線慢慢向A點靠近，直觀上，等到B點和A點重合之後，割線AB就變成了曲線在A點的切線。
這樣做很符合人們的直覺，但是它在邏輯上會有一點問題：當B點向A點移時，它是什麼時候從割線變成切線的？
重合的時候麼？如果B點和A點重合，那就最後隻剩下一個點了，我們知道“兩點确定一條直線”，一個點怎麼能确定一條直線呢？但是，如果B點和A點不重合的話，那麼這就仍然是一條割線而不是切線啊。
于是，這樣就出現了一個“一看非常簡單直觀，但是怎麼說都說不圓”的情況，似乎兩個點不行，一個點也不行，怎麼辦？
解決這個問題有一個很樸素的思路：要确定這條切線，讓A、B兩點重合是不行的，但是讓它們分得太開也不行。最好就是讓這兩點靠近靠近無限靠近，但是就是不讓它們重合。沒重合的話就依然是兩個點，兩個點可以确定一條直線；無限靠近的話又可以把它跟一般的割線區分開來，這樣不就兩全其美了麼？
也就是說，A、B兩點必須無限靠近但又不能重合，這樣它們的距離就無限接近0但又不等于0。這是什麼？這不就又是無窮小麼？
我們前面求曲線圍成的面積的時候，核心思想就是用無數個矩形去逼近原圖形，這樣每個矩形的底就變成了無窮小。在這裡，我們又認為當A、B兩點的距離變成無窮小的時候，割線AB就變成了過A點的切線，是不是有點巧？它們之間的共性，大家可以好好體會一下~
未完待續～
下一講引入微分的概念
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