種瓜得瓜，種豆得豆。

可以确定動點的軌迹是直線還是圓，從而求取線段最值。

主動地點、被動的點與定點連線的夾角是定量；

主動的點、被動的點到定點的距離之比是定量；

請記住這3種點：主動運動地點、被動的點、定點；

這三種點是解題關鍵。

主動的點運動的軌迹與被動的點運動軌迹一緻，要麼都是直線，要麼都是圓。

一、看下圖（1）：

圖（1）瓜豆1

如圖，點A為定點，點P是主動運動的點，在BC上運動，點Q為被動運動的點，AP:AQ=2,符合瓜豆原理。點P運動為直線，所以點Q運動也為直線。△PQF與△PAG始終相似，QF始終等于AG的一半。

二、看下圖（2）：

圖形（2）瓜豆2

如圖，點A為定點，點P是主動運動的點，在BC上運動，點Q為被動運動的點，AP:AQ=1.

∠PAQ為定值，符合瓜豆原理。點P運動為直線，所以點Q運動也為直線。

必記結論，如圖（2）中右圖：

P、Q兩點軌迹所在直線的夾角等于∠PAQ（當∠PAQ≤90°時，∠PAQ等于MN與BC夾角）

三、例題

如下圖，2019年宿遷中考真題：

例題

第一步：判斷是否符合瓜豆模型：判斷出定點為點E，主動運動的點F，被動的點為點G,∠FEG為定值60°，EF:EG為定值1。符合瓜豆模型，所以點G運動為直線。

第二步确定這條直線：兩點确定一條直線，所以取兩個特殊的位置就可以了。

如下圖：

例題圖（1）

可取點F在B點處和FG∥BC時兩種特殊位置，可确定點G運動的軌迹。

第三步：解題：點到直線，垂直線段最短。

請看下圖：

例題圖（2）

由瓜豆原理可得∠GHA=GEF=60°，從而易求得∠LCB=60°,因為∠GEB=∠LCB=60°,所以GE與LC平行。如圖構造一個矩形和含60°角的直角三角形。可得CG'=1 1.5=2.5.

動态演示如下圖：

動态演示

舉一反三：

舉一反三

可以做做試試。

另，以上的宿遷的中考真題，确定軌迹後，如想不到構造矩形和特殊角直角三角形，可考慮構造平面直角坐标系，用一次函數來求G'的坐标來求。

可以試試，可參考我的文章《賽老師：九年級，備戰中考，建立平面直角坐标系，速求線段長度》。

一、看下圖（3）：

瓜豆圖形（3）

如上圖，點A為定點，點C是主動運動的點，在圓O上運動，點B為被動運動的點，AC:AB=2，符合瓜豆原理。點C運動為圓，所以點B運動也為圓。

難點在于确定被動點圓心和半徑，設被動點的圓心為E，未提到角度問題，所以點E在AO上，AO:AE=AC:AB,它們之間的半徑必也等于AC:AB，可得出半徑和圓心。

二、看下圖（4）

瓜豆圖形（4）

如上圖，點A為定點，點P是主動運動的點，在圓O上運動，點Q為被動運動的點，AP:AQ為定值k,∠PAQ為定值a°，符合瓜豆原理。點P運動為圓，所以點Q運動也為圓。

怎麼确定被動點的圓心和半徑？

設被動點的圓心為E，AO旋轉a°到AE，AO:AE=AP:AQ=OP:QE,可确定圓心和半徑，從而能畫出點Q的運動軌迹。

三、例題

如下圖：

例2

第一步：判斷是否符合瓜豆原理，點A為定點，點P為主動運動的點，點B為被動運動的點，AB:AB=1,∠PAB=60°為定值，符合瓜豆原理。所以點B運動的軌迹與點P運動的軌迹相同，均為圓。

第二步：因為AB:AB=1，所以兩個圓的半徑相同。

第三步：求出答案，B點運動的軌迹為一個半徑為2的圓，求出它的周長，即可。

動态演示，如下圖：

動态演示2

舉一反三：

如下圖：

舉一反三2

可以試試，做一做。

瓜豆模型，你覺得怎麼樣？歡迎在評論區留下你的想法。

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