下列說法，正确的有( ).

A. 函數f(x)=lnx 3x-6 的零點隻有一個且屬于區間(1,2).

B. 若關于x的不等式ax^2 2ax 1>0恒成立, 則a∈(0,1).

C. 函數y=x的圖像與函數y=sinx的圖像有3個不同的交點.

D. 函數y=sinxcosx sinx cosx, x∈[0, π/4]的最小值是1.

我們逐個選項分析。一般老黃都比較強調有圖有真相，A選項作出大概圖像，立馬可以解決。

上圖中y=lnx和y=-3x 6兩個函數圖像的交點就表示原函數的零點。一個函數的零點可以表示為兩個函數的差等于0的情形。從圖中一目了然可以看出兩個圖像有唯一的交點，且在(1,2)之間。

或者可以求原函數的導數，f’=1/x 3, 在函數的定義域x>0上，f’>0, 所以f是嚴格遞增函數，這說明函數最多隻有一個零點. 如果不會用導數證明函數的增減性，也可以用下面的一般方法：

設0<x1<x2,

則f(x2)-f(x1)=ln(x2/x1) 3(x2-x1)>0, 所以f是嚴格遞增函數.

然後分别求得f(1)=-3<0, f(2)=ln2>0, 根據根的存在性定理就可以知道, f唯一的零點在(1,2)上. 因此A選項是正确的.

B選項也可以借助圖像來理解一下。

可以看到，要使不等式恒成立，有兩個必要條件，一是a>0，二是判别式△=4a^2-4a<0.

可以解得0<a<1, 即a∈(0,1). 所以B選項也是正确的。

這裡存在争議，當a=0時，不等式是成立的，但卻不是關于x的不等式。所以這樣的題最好少出。

C選項也借助圖像大概了解一下：

可以看到，單憑圖像無法做出準确的判斷。最好是通過求兩個函數的差構成的新函數的導數，通過判斷新函數的增減性來确定。

記f(x)=sinx-x, 則f’(x)=cosx-1≤0,

即f是增函數, 增函數要麼隻有1個零點，要麼有無限個零點. 因此C選項是錯誤的。如果不會用導數判斷就麻煩了一些。我們可以發現圖像是關于原點對稱的，所以我們可以分開正負區間分析。比如在(0,π/2)的區間上分析。

設0<x1<x2<π/2,則0<(x2-x1)/2<(x2 x1)/2<π/2,

sinx2-sinx1=2cos[(x2 x1)/2]sin[(x2-x1)/2]<2cos[(x2-x1)/2]sin[(x2-x1)/2]=sin(x2-x1),

又sin(x2-x1)<x2-x1,

∴f(x2)-f(x1)=(sinx2-sinx1)-(x2-x1)<sin(x2-x1)-(x2-x1)<0.

同理可證-π/2<x1<x2<0的情形.

以上證明了f在(-π/2,0)和(0,π/2)上都嚴格單調增，因此至多在x=0有一個交點。而當|x|>π/2時，兩個函數不可能有交點，從而可以知道C選項是錯誤的。

D選項并不容易作圖像，所以直接在函數上做文章。可将函數化為y=sin2x/2 根号(1 sin2x), 利用換元法，記u=sin2x ，則u∈[0, 1], y=u/2 根号(1 u). 很明顯，這是一個單調增函數。而在x∈[0, π/4]，u=sin2x也是單調增的。從而可知當x=0時, u=0, y=1最小。所以D選項是正确的。

綜上，正确的答案是ABD. 錯選，多選都不得分，少選要扣分。

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