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四邊形的兩個對角有什麼關系

圖文更新时间:2025-02-02 08:02:50

四邊形的面積與對角線的關系

在凸四邊形中有這樣的不等式存在，即其面積不大于其對角線乘積的一半。

證明：如圖，令PA=m, PC=n, PB=q, PD=q,

四邊形的兩個對角有什麼關系（一個四邊形的面積與對角線的關系的問題）1

四邊形的面積是其内部四個三角形面積之和，用符号［X］表示圖形X的面積，

［ABCD］=［PAD］［PAB］［PBC］［PCD］

=(mp·sinα mq·sinα nq·sinα np·sinα)/2

2［ABCD］=m(p q)sinα n(p q)sinα

=（m n）(p q)sinα

≤AC·BD

上面不等式的成立是利用了sinα≤, 而m n=AC, p q=BD

即：

四邊形的兩個對角有什麼關系（一個四邊形的面積與對角線的關系的問題）2

上述不等式中的等号成立，是當sinα=1, 即α=90°時候成立。

下面利用這個不等式解一道題。

一個面積為2002的凸四邊形ABCD内部包含一個點P，使PA = 24, PB = 32, PC = 28, PD = 45。求ABCD的周長。

四邊形的兩個對角有什麼關系（一個四邊形的面積與對角線的關系的問題）3

解：根據上面的不等式

四邊形的兩個對角有什麼關系（一個四邊形的面積與對角線的關系的問題）4

說明四邊形的面積等于其兩條對角線乘積的一半，隻有這兩條對角線垂直。

根據AC⊥BD，利用勾股定理求内部四個三角形的斜邊：

四邊形的兩個對角有什麼關系（一個四邊形的面積與對角線的關系的問題）5

因此四邊形ABCD的周長為：

四邊形的兩個對角有什麼關系（一個四邊形的面積與對角線的關系的問題）6

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