2022年高考數學試卷包括新高考一卷(不分文理科)、新高考二卷(不分文理科)、甲卷(分文理科)、乙卷(分文理科)、浙江卷(不分文理科)以及因疫情延期的上海卷。從目前已經考過的試卷來看，整體難度最大的無疑是新高考一卷，據說新高考一卷地區不少考生考過數學後都哭了。

看過新高考一卷數學，再看全國甲卷數學，不少網友都覺得甲卷數學真簡單。那麼問題來了，對于考生來說甲卷數學真的很簡單嗎？我問過一些考生，他們覺得甲卷數學談不上多簡單，比如選擇題的壓軸題，學校不少班級都出現了全軍覆沒的情況。本文就和大家一起來看看甲卷數學的選擇壓軸題。

這是一道比較實數大小的題目，但是綜合性非常強，所以難度也很大。很多考生看到題目後都知道要構造函數，然後通過函數單調性來求解。但是究竟該構造什麼樣的函數卻難住了包括學霸在内的衆多考生。當然，還有一些超級學霸一眼就看出來可以用泰勒展開式進行求解，但是泰勒展開式在高中階段屬于超綱内容。那麼不用泰勒展開式又怎麼求解呢？

我們先觀察一下a、b、c，可以發現很難通過構造一個函數就比較出它們的大小，所以需要構造多個函數分别比較。

先比較a和b。構造函數的關鍵就是找到所構造函數的解析式，那麼a和b究竟該怎麼構造呢？顯然，b構造起來比較簡單，cosx就能滿足條件，那麼a該怎麼構造呢？b是x=1/4時cosx的值，那麼也就是說我們需要将a用1/4給表示出來，此時能夠想到的表達式有很多，比如31x/8、31x^2/2、1-x^2/2等。但是，我們構造的目的是比較a、b的大小，所以我們通常還需要作差處理，并且作差後要與0比較，所以将a看成是函數1-x^2/2更加合适。

接下來，我們令f(x)=1-x^2/2-cosx，0≤x≤π/2。則f'(x)=-x sinx，f''(x)=-1 cosx≤0，所以f'(x)為減函數，故f'(x)≤f'(0)=0，即f(x)為減函數。所以f(1/4)＜f(0)=0，即a＜b。

接下來再比較b和c。這裡需要用到一個高中階段經常用到的放縮關系，即0＜x＜π/2時，有tanx＞x。這個放縮關系的證明很簡單，可以用三角函數線也可以構造函數y=tanx-x用導數證明，這裡就不贅述了。根據上面的放縮關系可知，tan(1/4)＞1/4，即sin(1/4)/cos(1/4)＞1/4，即4sin(1/4)＞cos(1/4)，從而得到c＞b。

這兒為什麼想到先比較b、c而不是比較a、c呢？因為b、c都是三角函數，處理起來更方便。

雖然這道題可以用泰勒展開式快速求解，但是個人的觀點是對于這種超綱内容還是少用為好，否則以後将會有更多超綱内容進入中小學教材。這樣導緻的後果一是違背了教材編寫的初衷，二是大大增加了學生的學習負擔，與減負政策背道而馳，所以還是盡量用當前階段學習的内容來解決更好。

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