題型一：讨論含有參數函數的單調性

下面四道題都與lnx、e^x有關，與e^x結合的函數出現的更多一些。

①2018全國Ⅰ卷導數題，與lnx相關，解題時首先考慮定義域，而且求導通分後，分子為二次函數，讨論的形式相對多一些，難一些；

②2017全國Ⅰ卷導數題，要求學生要會因式分解，然後再讨論參數，之後的讨論與2012年題型相似；

③2015全國Ⅱ卷導數題，需合并同類項，由于是證明題，結合區間讨論參數，還可以進行二次求導發現f'(x)為增函數，然後再讨論，更容易處理；

④2012新課标，這是全國卷在2010年以來第一次在第一問出現含參數讨論單調性導數題，這道題還算簡單，相對容易接受。

通過以上分析，我們發現含參數讨論問題更多是與e^x及lnx結合，有分子二次函數型（參考定義域），因式分解型，二次求導型，單根單調型（如④）。

希望這樣的分析能對高三複習有所幫助，搞定導數第一問就不要漏掉這幾種題型。

題型二：含參數讨論單調性求極值最值

本題型在是在題型一基礎上又進一求極值最值，難度又進一步加大。對學生的分類讨論，理解分析能力要求比較高。2017年的兩道導數題，如出一轍，同一個模闆，對于中等生來講并不簡單，且2卷難度稍微大一點點。2016年導數難度也是比較大，尤其在問法上又不是特别明确，所以，在複習備考時我們應該對含參數讨論求極值最值這樣的知識點練習到位，争取在導數的第一問上拿到滿分。

題型三：直接讨論函數單調性

按正常來講，不含參數讨論函數單調性應該是比較簡單，但是如下的五道題并非絕對的送分題。

2018年的兩道導數題以及2013年導數題均需要二次求導，且2018年兩道題需要求最值；

2016年導數題及2010年導數題需要因式分解，而2016年導數題需要求最值，且這樣的問法，會讓很多考生不容易看出是求最值；

所以，不含參數的導數題還是比較難的，訓練時需要夯實基礎，對導數解答題的一條線（①原函數，②導函數（直接看不出來則二階導）③單調區間④求極值最值）了如指掌。

題型四：切線問題

對考生來講，導數題第一問求與切線方程有關問題是最簡單的，但是近三年都沒有考過。而且2015年的切線題稍微難了一點。

①切線方程相關問題；

②結合定義域直接（及含參數）求單調區間；

③求極值最值；

④求二階導意識（尤其是帶有e^x的函數）；

⑤加強因式分解，合并同類項能力。

千萬不要認為對于導數題，很多孩子都可以得4分。仔細分析，并非易事。我們要從學生的角度思考問題，培養孩子做導數題“一條線”能力。

*（1）求函數中某參數的值或給定參數的值求導數或切線

一般來說，一到比較溫和的導數題的會在第一問設置這樣的問題：若f(x)在x=k時取得極值，試求所給函數中參數的值；或者是f(x)在(a,f(a))處的切線與某已知直線垂直，試求所給函數中參數的值等等很多條件。雖然會有很多的花樣，但隻要明白他們的本質是考察大家求導數的能力，就會輕松解決。這一般都是用來送分的，所以遇到這樣的題，一定要淡定，方法是：

先求出所給函數的導函數，然後利用題目所給的已知條件，以上述第一種情形為例：令x=k，f(x)的導數為零，求解出函數中所含的參數的值，然後檢驗此時是否為函數的極值。

注意：

①導函數一定不能求錯，否則不隻第一問會挂，整個題目會一并挂掉。保證自己求導不會求錯的最好方法就是求導時不要光圖快，一定要小心謹慎，另外就是要将導數公式記牢，不能有馬虎之處。

②遇到例子中的情況，一道要記得檢驗，尤其是在求解出來兩個解的情況下，更要檢驗，否則有可能會多解，造成扣分，得不償失。所以做兩個字來概括這一類型題的方法就是：淡定。别人送分，就不要客氣。

③求切線時，要看清所給的點是否在函數上，若不在，要設出切點，再進行求解。切線要寫成一般式。

*（2）求函數的單調性或單調區間以及極值點和最值

一般這一類題都是在函數的第二問，有時也有可能在第一問，依照題目的難易來定。這一類題問法都比較的簡單，一般是求f(x)的單調（增減）區間或函數的單調性，以及函數的極大（小）值或是籠統的函數極值。一般來說，由于北京市高考不要求二階導數的計算，所以這類題目也是送分題，所以做這類題也要淡定。這類問題的方法是：

首先寫定義域，求函數的導函數，并且進行通分，變為假分式形式。往下一般有兩類思路，一是走一步看一步型，在行進的過程中，一點點發現參數應該讨論的範圍，一步步解題。這種方法個人認為比較累，而且容易丢掉一些情況沒有進行讨論，所以比較推薦第二種方法，就是所謂的一步到位型，先通過觀察看出我們要讨論的參數的幾個必要的臨介值，然後以這些值為分界點，分别就這些臨界點所分割開的區間進行讨論，這樣不僅不會漏掉一些對參數必要的讨論，而且還會是自己做題更有條理，更為高效。

極值的求法比較簡單，就是在上述步驟的基礎上，令導函數為零，求出符合條件的根，然後進行列表，判斷其是否為極值點并且判斷出該極值點左右的單調性，進而确定該點為極大值還是極小值，最後進行答題。

最值問題是建立在極值的基礎之上的，隻是有些題要比較極值點與邊界點的大小，不能忘記邊界點。

注意：

①要注意問題，看題幹問的是單調區間還是單調性，極大值還是極小值，這決定着你最後如何答題。還有最關鍵的，要注意定義域，有時題目不會給出定義域，這時就需要你自己寫出來。沒有注意定義域問題很嚴重。

②分類要準，不要慌張。

③求極值一定要列表，不能使用二階導數，否則隻有做對但不得分的下場。

*（3）恒成立或在一定條件下成立時求參數範圍

這類問題一般都設置在導數題的第三問，也就是最後一問，屬于有一定難度的問題。這就需要我們一定的綜合能力。不僅要對導數有一定的理解，而且對于一些不等式、函數等的知識要有比較好的掌握。這一類題目不是送分題，屬于扣分題，但掌握好了方法，也可以百發百中。方法如下：

做這類恒成立類型題目或者一定範圍内成立的題目的核心的四個字就是：分離變量。一定要将所求的參數分離出來，否則後患無窮。有些人總是認為不分離變量也可以做。一些簡單的題目誠然可以做，但到了真正的難題，分離變量的優勢立刻體現，它可以規避掉一些極為繁瑣的讨論，隻用一些簡單的代數變形可以搞定，而不分離變量就要面臨着極為麻煩的讨論，不僅浪費時間，而且還容易出差錯。所以面對這樣的問題，分離變量是首選之法。當然有的題确實不能分離變量，那麼這時就需要我們的觀察能力，如果還是沒有簡便方法，那麼才會進入到讨論階段。

分離變量後，就要開始求分離後函數的最大或者最小值，那麼這裡就要重新構建一個函數，接下來的步驟就和（2）中基本相同了。

注意：

①分離時要注意不等式的方向，必要的時候還是要讨論。

②要看清是求分離後函數的最大值還是最小值，否則容易搞錯。

③分類要結合條件看，不能抛開大前提自己胡搞一套。

最後，這類題還需要一定的不等式知識，比如均值不等式，一些高等數學的不等數等等。這就需要我們有足夠的知識儲備，這樣做起這樣的題才能更有效率。

（4）構造新函數對新函數進行分析

這類題目題型看似複雜，但其實就是在上述問題之上多了一個步驟，就是将上述的函數轉化為了另一個函數，并沒有本質的區别，所以這裡不再贅述。

（5）零點問題

這類題目在選擇填空中更容易出現，因為這類問題雖然不難，但要求學生對與極值和最值問題有更好的了解，它需要我們結合零點，極大值極小值等方面綜合考慮，所以更容易出成填空題和選擇題。如果出成大題，大緻方法如下：

先求出函數的導函數，然後分析求解出函數的極大值與極小值，然後結合題目中所給的信息與條件，求出在特定區間内，極大值與極小值所應滿足的關系，然後求解出參數的範圍。

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鄒老師

中國教育家協會理事；全國數學優秀教師、特級教師的培訓導師；青少年成功學習的智慧導師，中國素質教育與應試教育完美結合的創造者！

他創立的“本質理論”，讓人聰明一輩子，從根本上解決學生的思維問題；

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