我們最為熟悉的一個常數就是圓周率π=3.1415926……

然而，在自然界中，還有一個比π更加神奇的常數。那就是堪稱上帝之數的自然常數e=2.71828……

光聽名字，你就能夠感受到這個e不簡單，能夠命名為“自然”這兩個字，一定是大有來頭！

筆者今天在查閱資料時，突然發現，除了專業性文章以外，全網居然沒有一篇文章能夠用比較通俗易懂的語言解釋清楚為什麼e會存在？今天我們就來聊一聊這個無比神奇的常數e。

首先我們來看一組數據

(1 1/1)^1=2^1=2

(1 1/2)^2=1.5^2=2.25

(1 1/3)^3≈1.333^3≈2.369

(1 1/4)^4=1.25^4≈2.441

(1 1/5)^5=1.2^5≈2.488

(1 1/6)^6≈1.167^6≈2.526

(1 1/7)^7≈1.143^7≈2.549

(1 1/8)^8=1.125^8≈2.566

(1 1/9)^9≈1.111^9≈2.579

(1 1/10)^10=1.1^10≈2.594

…………

(1 1/100)^100=1.01^100≈2.705

(1 1/1000)^1000=1.001^1000≈2.717

(1 1/10000)^10000=1.0001^10000≈2.718

…………

(1 1/n)^n=？

…………

随着n的增大，我們發現，計算結果也在不斷增大。同時，我們還感受到了一股神秘的力量，這股力量将計算結果逐漸逼近于某一個确定的值。而這個值就是我們今天要講的自然常數e。

要想探究e的奧秘，我們必須要首先讨論e的存在性，這個e到底存不存在呢？

我們考察數列{an}={(1 1/n)^n}

首先我們來分析一下這個數列的單調性：

an=(1 1/n)^n

a(n-1)=[1 1/(n-1)]^(n-1)，n≥2

根據均值不等式

[b1×b2×……×b(n-1)×bn]^(1/n)≤[b1 b2 …… b(n-1) bn)]/n

也就是說，n個正數的幾何平均數不大于這n個正數的代數平均數。

取b1=b2=……=b(n-1)=1 1/(n-1)=n/(n-1)，bn=1，n≥2

[b1×b2×……×b(n-1)×bn]^(1/n)

={[1 1/(n-1)]^(n-1)×1}^(1/n)

=[a(n-1)×1]^(1/n)

=[a(n-1)]^(1/n)

[b1 b2 …… b(n-1) bn)]/n

={(n-1)×[n/(n-1)] 1}/n

=(n 1)/n

=1 1/n

[a(n-1)]^(1/n)≤1 1/n

a(n-1)≤(1 1/n)^n=an

an≥a(n-1)，n≥2

數列{an}={(1 1/n)^n}單調遞增

同樣的方法，也可以證明數列{(1-1/n)^n}單調遞增

接下來我們繼續來讨論數列{an}的有界性：

(1 1/n)×(1-1/n)=1-1/n^2＜1，n≥2

1 1/n＜1/(1-1/n)

(1 1/n)^n＜1/[(1-1/n)]^n

數列{(1-1/n)^n}單調遞增，則數列{1/[(1-1/n)]^n}單調遞減

1/[(1-1/n)]^n≤1/[(1-1/2)]^2=1/(1/2)^2=1/(1/4)=4，n≥2

an=(1 1/n)^n＜1/[(1-1/n)]^n≤4，n≥2

數列{an}={(1 1/n)^n}有上界

總結一下，數列{an}={(1 1/n)^n}單調遞增有上界

根據單調有界定理：若數列單調有界，則數列必存在極限。

數列{an}={(1 1/n)^n}必存在極限，我們将這個極限值叫做自然常數，用字母“e”表示

e=lim(an)=lim[(1 1/n)^n]，n→∞

講到這裡，我們終于可以确定這個自然常數e是必然存在的。接下來我們繼續來欣賞“e”的魔術表演。

我們都學習過階乘，定義n的階乘為：

n!=1×2×3×……×n，并規定：0!=1

我們來看一下如下計算結果：

1/0!=1/1=1

1/0! 1/1!=1 1=2

1/0! 1/1! 1/2!=2 1/2=2.5

1/0! 1/1! 1/2! 1/3!=2.5 1/6≈2.667

1/0! 1/1! 1/2! 1/3! 1/4!≈2.667 1/24=2.708

1/0! 1/1! 1/2! 1/3! 1/4! 1/5!≈2.708 1/120≈2.717

1/0! 1/1! 1/2! 1/3! 1/4! 1/5! 1/6!≈2.717 1/720≈2.718

…………

我們可以明顯感覺到，這個計算結果逐漸在向自然常數e逼近，而且其逼近速度遠遠快于對e定義的公式速度。當我第一次看到這個結果時，簡直驚呆了，這個“e”怎麼又和階乘聯系上了呢？

其實這正是著名的泰勒級數展開的結果！

根據泰勒公式：

而以“e”為底數的指數函數f(x)=e^x，有一個非常神奇的性質，這個函數是除f(x)=0以外唯一一個導函數等于原函數的函數。

f＇(x)=(e^x)＇=e^x=f(x)

換句話說，無論對(e^x)求多少次導數，其結果都還是(e^x)

代入泰勒公式

f(x)=e^x=f(x0)/0! [f(x0)/1!]×(x-x0) [f(x0)/2!]×[(x-x0)^2] …… [f(x0)/n!]×[(x-x0)^n] ……

取x0=0，f(x0)=f(0)=e^0=1，x-x0=x-0=x

f(x)=e^x=1/0! (1/1!)×x (1/2!)×(x^2) …… (1/n!)×(x^n) ……

再取x=1，f(1)=e^x=e^1=e，x^n=1^n=1

e=1/0! (1/1!)×1 (1/2!)×1 …… (1/n!)×1 ……

e=1/0! 1/1! 1/2! …… 1/n! ……

這就是數學之美！

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