要理解矩陣乘積，首先得理解矩陣。

一、什麼是矩陣

在線性代數裡，矩陣的身影随處可見甚至我們一直在算矩陣，可矩陣到底是什麼東西，矩陣乘積又為什麼這麼規定呢，而且這樣一種怪異的乘法規則在實踐中也不會出現什麼問題......

事實上，矩陣代表了一個特定的線性變換。

我們知道線性變換是操縱空間的一種手段，這種變換不用去觀察，隻需要幾個數字就能描述清楚，那就是變換後基向量的坐标列，以這些坐标為列所構成的矩陣為我們提供了一種描述線性變換的語言，所以說矩陣就是線性空間裡線性變換的描述。

二、矩陣與線性變換

而對于一個線性變換，隻要你選定一組基，那麼就可以找到一個矩陣來描述這個線性變換。換一組基，就得到一個不同的矩陣。所有這些矩陣都是這同一個線性變換的描述，但又都不是線性變換本身。當然，這一句話裡面還隐藏了一個信息：矩陣還可以作為一組基的描述，比如我們最常見的單位矩陣I，它的列向量就可以看作一組基，而且不要忘記我們也會把矩陣稱為列向量組或者行向量組。

向量是線性空間的基本研究對象，按理說要把向量表示出來，就要把它放在一個坐标系中去度量它，然後把度量的結果（向量在各個坐标軸上的投影值）按一定順序列在一起，這就成了我們平時所見的向量表示形式。你選擇的坐标系（基）不同，得出來的向量的表示就不同。向量還是那個向量，選擇的坐标系不同，其表示方式就不同。因此，按道理來說，每寫出一個向量的表示，都應該聲明一下這個表示是在哪個坐标系中度量出來的。表示的方式是Ma，也就是說有一個向量，在M矩陣表示的坐标系中度量出來的結果為a。M矩陣表示出來的那個坐标系，由一組基組成，而那組基也是由向量組成的，同樣存在這組向量是在哪個坐标系下度量而成的問題。也就是說，表述一個矩陣也應該要指明其所處的基準坐标系。所謂M其實是IM，也就是說，M中那組基的度量是在I坐标系中得出的。

三、矩陣乘積

根據上述視角來看，M×N不是什麼矩陣乘法，而是聲明了一個在M坐标系中量出的另一個坐标系N，其中M本身是在I坐标系中度量出來的。從變換角度來講，矩陣乘積表示兩個線性變化先後作用。如果把N看作是坐标系的一組基，那麼M×N也可以理解成對組成坐标系N的每一個向量施加M變換。

我們知道，矩陣既可以描述變換還可以描述坐标系。舉個例子來看，比如要把點(1,1)變到點(3,4)去，可以有兩種做法。

第一，坐标系不動，點動，把(1,1)點挪到(3,4)去。

第二，點不動，坐标系動，讓x軸的度量（單位向量）變成原來的1/3，讓y軸的度量（單位向量）變成原先的1/4，這樣點還是那個點，可是點的坐标就變成(3,4)了。

方式不同，結果是一樣的。第一種方式刻畫的就是矩陣用來描述變換，第二種方式刻畫的就是矩陣可以用來描述坐标系。

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