▷教學内容

教科書P99例3及相關習題。

▷教學目标

1.體會圖示在理解問題、分析解決問題中的作用，學習用幾何直觀分析、解決問題的策略。

2.經曆問題解決的全過程，探索解決問題的途徑、策略和方法。

3.感受數學知識與日常生活的聯系，養成用簡明、靈活的方法解決問題的習慣。

▷教學重點

分析數量關系，運用幾何直觀解決問題。

▷教學難點

掌握運用幾何直觀解決問題的策略。

▷教學準備

課件。

▷教學過程

一、 回顧舊知識，揭示課題

師：同學們，上節課我們學習了分數的混合運算，今天我們就運用這些知識來解

決一些生活中的實際問題。大家還記得解決問題的三個步驟嗎？

【學情預設】這是學生多次學習過的内容，學生對于解決問題的基本步驟已經很熟知了，所以很容易記起解決問題的基本步驟。

師：今天這節課我們繼續按照這樣的步驟來解決一些新的生活問題。（闆書課題：用分數加減法解決問題）

【設計意圖】新課伊始，引導學生回憶解決問題的一般步驟，激活學生已有的學習經驗，為新課的展開提供方法支持，同時，也使學生明确學習任務，增強後續學習的實效性。

二、 探究問題，建立模型

師：你們喜歡喝牛奶嗎？樂樂也很喜歡喝牛奶，他在喝牛奶時遇到了數學問題。

課件呈現教科書P99例3。

1.收集、理解信息。

師：你從中讀到了哪些數學信息？

【學情預設】由于學生經曆過解決問題的探究過程，對于信息的整理具備了一定的經驗和方法。因此，學生基本上可以借助列表、畫圖等方法進行信息整理，如發現“喝了兩次牛奶”。對此，教師要追問：第一次喝的牛奶和第二次喝的一樣嗎？哪裡不一樣？教師可根據學生情況及時點撥，幫助學生在交流中理解題意。

集體交流，全班展示。

師追問：喝了幾次牛奶？第一次喝了多少？第二次呢？兩次喝的純牛奶一樣嗎？加了多少水？水全喝完了嗎？

2.自主分析，解決問題。

師：為了厘清、分析這些數學信息及其數量關系，請你們運用文字描述、列表、畫線段圖或示意圖的方法來分析一下。

【學情預設】由于學生水平不同，選取分析數量關系的方式也會有所不同，不論學生選用哪種方法加以诠釋，教師都要給予肯定，但要關注學生在分析數量關系的過程中是否厘清了一個關鍵性問題：“第二次喝的牛奶是多少？”如果學生未能解釋清楚，教師就要及時抓住，在後續的學習活動中進行重點分析。

（1）學生獨立分析數量關系。

（2）學生展示，交流彙報。

師：你能向大家介紹一下你的分析過程嗎？

【學情預設】預設1：借助表格分析。

2：借助示意圖分析。

預設3：借助線段圖分析。

（3）對比交流，體會關鍵。

師：大家用不同的方法分析了題目中的數量關系，請你們對比一下，在這些數量關系中，關鍵點在哪？

【學情預設】學生在經曆了數量關系的初步分析之後，對于題目中的關鍵點有了一定的感知。因為第一次喝掉的牛奶是一杯牛奶的，第二次喝掉的牛奶是“半杯牛奶的”，這裡是學生容易理解出錯的地方，也恰恰是解決問題的關鍵。

（4）圖解關鍵，厘清關系。

師：在大家的分析中，第一次喝掉的牛奶是一杯牛奶的，第二次喝掉的牛奶是半杯牛奶的，這到底是多少牛奶呢？誰能想辦法給大家講清楚呢？

【學情預設】對于這一關鍵問題的理解，優秀的學生可以借助清晰的語言描述來分析，而很多學生則需要借助直觀圖來理解。因此，當學生遇到困難時，教師可以啟發學生借助畫圖的方法來分析理解。

學生分析關鍵點，在紙上畫一畫，然後集體交流。

①借助直觀圖描述關鍵點。

課件動态呈現牛奶和水的變化過程。

②配合直觀圖分析數量關系。

師：喝了兩次，肯定用加法來解答。第一次喝了杯，剩(1－)杯，喝完後加滿水，純牛奶不變，還是隻有杯，又喝了加水後的，也就是把杯的純牛奶再平均分成2份，喝的純牛奶占其中的1份。

杯的一半是（）杯。第二次喝的純牛奶是（）杯，水

是（）杯。

一共喝的純牛奶：___________水：___________

闆書：杯牛奶的一半就是杯。

= =（杯）

答：樂樂一共喝了杯純牛奶，杯水。

【設計意圖】在以上教學環節中，教師引導學生依照解決問題的基本步驟，強化對數學信息的整理和數量關系的分析，特别是着重對關鍵點進行了直觀分析。始終貫穿的方法支撐是幾何直觀，正是借助這一直觀手段将抽象的數量關系加以具體化，促進了學生對數量關系的深入理解和應用。

（5）回顧反思，總結方法。

師：我們利用畫圖法得出的結論到底對不對呢？可以怎樣檢驗？

【學情預設】學生借助學習經驗可以想到倒推驗證的方法，如把喝掉的牛奶與剩下的牛奶加起來看是否是一杯牛奶，或者把喝掉的水與剩下的水加起來看是否是半杯水。

師：解決這道題的關鍵是什麼？關鍵步驟利用了什麼知識？

【學情預設】由于學生經曆了借助直觀圖分析數量的過程，因此，對于解決問題的方法記憶深刻，可能會作出如下解答：①每次喝的半杯中都是剩下純牛奶的一半，第一次喝的是整杯純牛奶的一半，第二次喝的是剩下半杯純牛奶的一半。②分數的意義、分數加減法、畫圖法等知識。

【設計意圖】這一環節中，教師借助問題的形式引導學生回顧解決問題的過程，促進學生對數量關系的理解以及學習方法的領悟。

三、鞏固應用，深化模型

1.師：一杯純牛奶，樂樂喝了半杯後，覺得有些涼，就兌滿了熱水。又喝了半杯，覺得還是有些涼，就又兌滿了熱水。又喝了半杯，就出去玩了。他一共喝了多少杯純牛奶？多少杯水？

學生獨立完成，然後集體訂正。

師：你能繼續填下去嗎？

2.一杯純牛奶，樂樂喝了杯後，覺得有些涼，就兌滿了熱水。又喝了半杯，就出去玩了。他一共喝了多少杯純牛奶？多少杯水？

學生獨立完成，然後集體訂正。

【設計意圖】解題能力的形成需要經曆一個從理解到應用的過程。因此，在學習新知識之後，設置兩道類似的練習題強化學生解決問題的思路和方法。此外，将題目進行了适當拓展，不僅激發了學生的學習興趣，同時也促使學生去探究此類問題的規律。

四、課堂小結

師：這節課我們學習了什麼知識？我們是怎樣進行探究的？

師：喝牛奶問題是一個很有意思的數學問題。我們的古人早就研究過這類問題。我國古代學者莊子在《莊子·天下篇》中有一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”也就是長為一尺的東西，今天取走它的一半，明天在剩餘的一半中再取走一半，以後每天都在剩下的一半中取一半出來，這樣永遠都不會取完。

【設計意圖】課尾，教師不僅要關注數學知識和方法的回顧與總結，更要借助一道數學古題将學生的學習興趣拓展到課外。

▷教學反思

解決問題的難點在于理解抽象的數量關系，而解決這一問題的有效方法就是借助幾何直觀。在本課的教學中，重點不僅放在了對典型問題的分析與掌握上，更重要的是引導學生深刻領悟借助幾何直觀來分析問題、解決問題的方法。這一方法始終貫穿在教學中，從信息的整理，到數量關系的分析，再到關鍵問題的剖析，無一不用到幾何直觀的方法。數學的思想方法即便是經曆歲月的磨蝕仍然會綻放出燦爛的光輝。這才是學生終生受用的最有價值的東西。

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