小升初比較難的應用題?16正反比例問題【含義】 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也随着變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值一定（即商一定），那麼這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用，我來為大家科普一下關于小升初比較難的應用題?以下内容希望對你有幫助!

小升初比較難的應用題

16正反比例問題

【含義】 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也随着變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值一定（即商一定），那麼這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也随着變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。

【數量關系】 判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。

【解題思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數）轉化為比，應用比和比例的性質去解應用題。

正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。

例1修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米後，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？

人 數80人一共多少人？對應的份數12－88＋12＋21

解80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）

答：三個車間一共820人。

18百分數問題

【含義】 百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾的數。百分數是一種特殊的分數。分數常常可以通分、約分，而百分數則無需；分數既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數隻能表示“率”；分數的分子、分母必須是自然數，而百分數的分子可以是小數；百分數有一個專門的記号“%”。

在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。

【數量關系】 掌握“百分數”、“标準量”“比較量”三者之間的數量關系：

百分數＝比較量÷标準量

标準量＝比較量÷百分數

【解題思路和方法】 一般有三種基本類型：

（1） 求一個數是另一個數的百分之幾；

（2） 已知一個數，求它的百分之幾是多少；

（3） 已知一個數的百分之幾是多少，求這個數。

例1倉庫裡有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？

解 （1）用去的占720÷（720＋6480）＝10%

（2）剩下的占6480÷（720＋6480）＝90%

答：用去了10%，剩下90%。

例2紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數比女職工少百分之幾？ 解 本題中女職工人數為标準量，男職工比女職工少的人數是比較量所以 （525－420）÷525＝0.2＝20%

或者1－420÷525＝0.2＝20%

答：男職工人數比女職工少20%。

例3紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數多百分之幾？ 解 本題中以男職工人數為标準量，女職工比男職工多的人數為比較量，因此

（525－420）÷420＝0.25＝25%

或者525÷420－1＝0.25＝25%

答：女職工人數比男職工多25%。

例4紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數的百分之幾？

解 （1）男職工占420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%

（2）女職工占525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%

答：男職工占全廠職工總數的44.4%，女職工占55.6%。

例5百分數又叫百分率，百分率在工農業生産中應用很廣泛，常見的百分率有：

增長率＝增長數÷原來基數×100%

合格率＝合格産品數÷産品總數×100%

出勤率＝實際出勤人數÷應出勤人數×100%

出勤率＝實際出勤天數÷應出勤天數×100%

缺席率＝缺席人數÷實有總人數×100%

發芽率＝發芽種子數÷試驗種子總數×100%

成活率＝成活棵數÷種植總棵數×100%

出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%

出油率＝油的重量÷油料重量×100%

廢品率＝廢品數量÷全部産品數量×100%

命中率＝命中次數÷總次數×100%

烘幹率＝烘幹後重量÷烘前重量×100%

及格率＝及格人數÷參加考試人數×100%

19“牛吃草”問題

【含義】 “牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。

【數量關系】 草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數

【解題思路和方法】 解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。

例1一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？

解 草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5天内的草總量要5天吃完的話，得有多少頭牛？ 設每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：

（1）求草每天的生長量

因為，一方面20天内的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即1×10×20；另一方面，20天内的草總量又等于原有草量加上20天内的生長量，所以

1×10×20＝原有草量＋20天内生長量

同理1×15×10＝原有草量＋10天内生長量

由此可知 （20－10）天内草的生長量為

1×10×20－1×15×10＝50

因此，草每天的生長量為50÷（20－10）＝5

（2）求原有草量

原有草量＝10天内總草量－10内生長量＝1×15×10－5×10＝100

（3）求5天内草總量

5天内草總量＝原有草量＋5天内生長量＝100＋5×5＝125

（4）求多少頭牛5天吃完草

因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。

因此5天吃完草需要牛的頭數125÷5＝25（頭）

答：需要25頭牛5天可以把草吃完。

例2一隻船有一個漏洞，水以均勻速度進入船内，發現漏洞時已經進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果隻有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？

解 這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最後一問給出了人數（相當于“牛數”），求時間。設每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：

（1）求每小時進水量

因為，3小時内的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時進水量

10小時内的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時進水量

所以，（10－3）小時内的進水量為1×5×10－1×12×3＝14

因此，每小時的進水量為14÷（10－3）＝2

（2）求淘水前原有水量

原有水量＝1×12×3－3小時進水量＝36－2×3＝30

（3）求17人幾小時淘完

17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時間是

30÷（17－2）＝2（小時）

答：17人2小時可以淘完水。

20雞兔同籠問題

【含義】 這是古典的算術問題。已知籠子裡雞、兔共有多少隻和多少隻腳，求雞、兔各有多少隻的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。

【數量關系】第一雞兔同籠問題：

假設全都是雞，則有

兔數＝（實際腳數－2×雞兔總數）÷（4－2）

假設全都是兔，則有

雞數＝（4×雞兔總數－實際腳數）÷（4－2）

第二雞兔同籠問題：

假設全都是雞，則有

兔數＝（2×雞兔總數－雞與兔腳之差）÷（4＋2）

假設全都是兔，則有

雞數＝（4×雞兔總數＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）

【解題思路和方法】 解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然後以兔換雞；如果先假設都是兔，然後以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解決。

例1長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠裡。數數頭有三十五，腳數共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？

解 假設35隻全為兔，則

雞數＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（隻）

兔數＝35－23＝12（隻）

也可以先假設35隻全為雞，則

兔數＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（隻）

雞數＝35－12＝23（隻）

答：有雞23隻，有兔12隻。

例2 2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？

解 此題實際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題。“每畝菠菜施肥（1÷2）千克”與“每隻雞有兩個腳”相對應，“每畝白菜施肥（3÷5）千克”與“每隻兔有4隻腳”相對應，“16畝”與“雞兔總數”相對應，“9千克”與“雞兔總腳數”相對應。假設16畝全都是菠菜，則有

白菜畝數＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（畝）

答：白菜地有10畝。

例3李老師用69元給學校買作業本和日記本共45本，作業本每本3 .20元，日記本每本0.70元。問作業本和日記本各買了多少本？

解 此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設45本全都是日記本，則有

作業本數＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）

日記本數＝45－15＝30（本）

答：作業本有15本，日記本有30本。

例4（第二雞兔同籠問題）雞兔共有100隻，雞的腳比兔的腳多80隻，問雞與兔各多少隻？

解 假設100隻全都是雞，則有

兔數＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（隻）

雞數＝100－20＝80（隻）

答：有雞80隻，有兔20隻。

例5有100個馍100個和尚吃，大和尚一人吃3個馍，小和尚3人吃1個馍，問大小和尚各多少人？

解假設全為大和尚，則共吃馍（3×100）個，比實際多吃（3×100－100）個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數100不變的情況下，以“小”換“大”，一個小和尚換掉一個大和尚可減少馍（3－1/3）個。因此，共有小和尚

（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）

共有大和尚100－75＝25（人）

答：共有大和尚25人，有小和尚75人。

21方陣問題

【含義】 将若幹人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題。

【數量關系】 （1）方陣每邊人數與四周人數的關系：

四周人數＝（每邊人數－1）×4

每邊人數＝四周人數÷4＋1

（2）方陣總人數的求法：

實心方陣：總人數＝每邊人數×每邊人數

空心方陣：總人數＝（外邊人數）－（内邊人數）

内邊人數＝外邊人數－層數×2

（3）若将空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：

總人數＝（每邊人數－層數）×層數×4

【解題思路和方法】 方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具體情況确定。

例1在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人？

解22×22＝484（人）

答：參加體操表演的同學一共有484人。

例2有一個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數。

解10*10－（10－3×2）*（10－3×2）＝84（人）

答：全方陣84人。

例3有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層人數是52人，最内層人數是28人，這隊學生共多少人？

解 （1）中空方陣外層每邊人數＝52÷4＋1＝14（人）

（2）中空方陣内層每邊人數＝28÷4－1＝6（人）

（3）中空方陣的總人數＝14×14－6×6＝160（人）

答：這隊學生共160人。

例4一堆棋子，排列成正方形，多餘4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9隻棋子，問有棋子多少個？

解 （1）縱橫方向各增加一層所需棋子數＝4＋9＝13（隻）

（2）縱橫增加一層後正方形每邊棋子數＝（13＋1）÷2＝7（隻）

（3）原有棋子數＝7×7－9＝40（隻）

答：棋子有40隻。

例5有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？

解 第一種方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）

第二種方法： （5＋1）×5÷2＝15（棵）

答：這個三角形樹林一共有15棵樹。

22商品利潤問題

【含義】 這是一種在生産經營中經常遇到的問題，包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題。

【數量關系】 利潤＝售價－進貨價

利潤率＝（售價－進貨價）÷進貨價×100%

售價＝進貨價×（1＋利潤率）

虧損＝進貨價－售價

虧損率＝（進貨價－售價）÷進貨價×100%

【解題思路和方法】 簡單的題目可以直接利用公式，複雜的題目變通後利用公式。

例1某商品的平均價格在一月份上調了10%，到二月份又下調了10%，這種商品從原價到二月份的價格變動情況如何？

解設這種商品的原價為1，則一月份售價為（1＋10%），二月份的售價為（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售價比原價下降了

1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%

答：二月份比原價下降了1%。

例2某服裝店因搬遷，店内商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去52元，已知衣服原來按期望盈利30%定價，那麼該店是虧本還是盈利？虧（盈）率是多少？

解 要知虧還是盈，得知實際售價52元比成本少多少或多多少元，進而需知成本。因為52元是原價的80%，所以原價為（52÷80%）元；又因為原價是按期望盈利30%定的，

所以成本為52÷80%÷（1＋30%）＝50（元）

可以看出該店是盈利的，盈利率為 （52－50）÷50＝4%

答：該店是盈利的，盈利率是4%。

例3成本0.25元的作業本1200冊，按期望獲得40%的利潤定價出售，當銷售出80%後，剩下的作業本打折扣，結果獲得的利潤是預定的86%。問剩下的作業本出售時按定價打了多少折扣？

解 問題是要計算剩下的作業本每冊實際售價是原定價的百分之幾。從題意可知，每冊的原定價是0.25×（1＋40%），所以關鍵是求出剩下的每冊的實際售價，為此要知道剩下的每冊盈利多少元。剩下的作業本售出後的盈利額等于實際總盈利與先售出的80%的盈利額之差，即

0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元）

剩下的作業本每冊盈利7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）

又可知 （0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80%

答：剩下的作業本是按原定價的八折出售的。

例4某種商品，甲店的進貨價比乙店的進貨價便宜10%，甲店按30%的利潤定價，乙店按20%的利潤定價，結果乙店的定價比甲店的定價貴6元，求乙店的定價。

解 設乙店的進貨價為1，則甲店的進貨價為1－10%＝0.9

甲店定價為0.9×（1＋30%）＝1.17

乙店定價為1×（1＋20%）＝1.20

由此可得 乙店進貨價為6÷（1.20－1.17）＝200（元）

乙店定價為200×1.2＝240（元）

答：乙店的定價是240元。

23存款利率問題

【含義】 把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個因素有關。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分數；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分數。

【數量關系】 年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）數×100%

利息＝本金×存款年（月）數×年（月）利率

本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）數］

【解題思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式，複雜的題目變通後再利用公式。

例1李大強存入銀行1200元，月利率0.8%，到期後連本帶利共取出1488元，求存款期多長。

解 因為存款期内的總利息是（1488－1200）元，

所以總利率為 （1488－1200）÷1200又因為已知月利率，

所以存款月數為 （1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）

答：李大強的存款期是30月即兩年半。

例2銀行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同時各存入1萬元，甲先存二年期，到期後連本帶利改存三年期；乙直存五年期。五年後二人同時取出，那麼，誰的收益多？多多少元？

解 甲的總利息［10000×7.92%×2＋［10000×（1＋7.92%×2）］×8.28%×3

＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47（元）

乙的總利息10000×9%×5＝4500（元）

4500－4461.47＝38.53（元）

答：乙的收益較多，乙比甲多38.53元。

24溶液濃度問題

【含義】 在生産和生活中，我們經常會遇到溶液濃度問題。這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質、溶液、濃度這幾個量的關系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質，溶解後的混合物叫溶液。溶質的量在溶液的量中所占的百分數叫濃度，也叫百分比濃度。

【數量關系】 溶液＝溶劑＋溶質

濃度＝溶質÷溶液×100%

【解題思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式，複雜的題目變通後再利用公式。

例1爺爺有16%的糖水50克，（1）要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它變成30%的糖水，需加糖多少克？

解 （1）需要加水多少克？50×16%÷10%－50＝30（克）

（2）需要加糖多少克？50×（1－16%）÷（1－30%）－50＝10（克）

答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。

例2要把30%的糖水與15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？

解 假設全用30%的糖水溶液，那麼含糖量就會多出600×（30%－25%）＝30（克）

這是因為30%的糖水多用了。于是，我們設想在保證總重量600克不變的情況下，用15%的溶液來“換掉”一部分30%的溶液。這樣，每“換掉”100克，就會減少糖100×（30%－15%）＝15（克） 所以需要“換掉”30%的溶液（即“換上”15%的溶液）100×（30÷15）＝200（克）

由此可知，需要15%的溶液200克。

需要30%的溶液600－200＝400（克）

答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。

例3甲容器有濃度為12%的鹽水500克，乙容器有500克水。把甲中鹽水的一半倒入乙中，混合後再把乙中現有鹽水的一半倒入甲中，混合後又把甲中的一部分鹽水倒入乙中，使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。求最後乙中鹽水的百分比濃度。

解 由條件知，倒了三次後，甲乙兩容器中溶液重量相等，各為500克，因此，隻要算出乙容器中最後的含鹽量，便會知所求的濃度。下面列表推算：

由以上推算可知，

乙容器中最後鹽水的百分比濃度為24÷500＝4.8%

答：乙容器中最後的百分比濃度是4.8%。

25構圖布數問題

【含義】 這是一種數學遊戲，也是現實生活中常用的數學問題。所謂“構圖”，就是設計出一種圖形；所謂“布數”，就是把一定的數字填入圖中。“構圖布數”問題的關鍵是要符合所給的條件。

【數量關系】 根據不同題目的要求而定。

【解題思路和方法】 通常多從三角形、正方形、圓形和五角星等圖形方面考慮。按照題意來構圖布數，符合題目所給的條件。

例1十棵樹苗子，要栽五行子，每行四棵子，請你想法子。

解 符合題目要求的圖形應是一個五角星。

4×5÷2＝10

因為五角星的5條邊交叉重複，應減去一半。

例2九棵樹苗子，要栽三行子，每行四棵子，請你想法子。

解 符合題目要求的圖形是一個三角形，每邊栽4棵樹，三個頂點上重複應減去，正好9棵。

4×3－3＝9

例3把12拆成1到7這七個數中三個不同數的和，有幾種寫法？請設計一種圖形，填入這七個數，每個數隻填一處，且每條線上三個數的和都等于12。

解 共有五種寫法，即12＝1＋4＋7 12＝1＋5＋6 12＝2＋3＋7

12＝2＋4＋6 12＝3＋4＋5

在這五個算式中，4出現三次，其餘的1、2、3、5、6、7各出現兩次，因此，4應位于三條線的交點處，其餘數都位于兩條線的交點處。

26幻方問題

【含義】 把n×n個自然數排在正方形的格子中，使各行、各列以及對角線上的各數之和都相等，這樣的圖叫做幻方。最簡單的幻方是三級幻方。

【數量關系】 每行、每列、每條對角線上各數的和都相等，這個“和”叫做“幻和”。

三級幻方的幻和＝45÷3＝15

五級幻方的幻和＝325÷5＝65

【解題思路和方法】首先要确定每行、每列以及每條對角線上各數的和（即幻和），其次是确定正中間方格的數，然後再确定其它方格中的數。

例1把1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數填入九個方格中，使每行、每列、每條對角線上三個數的和相等。

解幻和的3倍正好等于這九個數的和，所以幻和為

（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15

九個數在這八條線上反複出現構成幻和時，每個數用到的次數不全相同，最中心的那個數要用到四次（即出現在中行、中列、和兩條對角線這四條線上），四角的四個數各用到三次，其餘的四個數各用到兩次。看來，用到四次的“中心數”地位重要，宜優先考慮。

設“中心數”為Χ，因為Χ出現在四條線上，而每條線上三個數之和等于15，所以 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4

即45＋3Χ＝60所以 Χ＝5

接着用奇偶分析法尋找其餘四個偶數的位置，它們

分别在四個角，再确定其餘四個奇數的位置，它們分别

在中行、中列，進一步嘗試，容易得到正确的結果。

例2把2，3，4，5，6，7，8，9，10這九個數填到九個方格中，

使每行、每列、以及對角線上的各數之和都相等。

解 隻有三行，三行用完了所給的9個數，所以每行三數之和為

（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18

假設符合要求的數都已經填好，那麼三行、三列、兩條對角線共8行上的三個數之和都等于18，我們看18能寫成哪三個數之和：

最大數是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3

最大數是9：18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4

最大數是8：18＝8＋7＋3＝8＋6＋4

最大數是7：18＝7＋6＋5剛好寫成8個算式。

首先确定正中間方格的數。第二橫行、第二豎行、兩個斜行都用到正中間方格的數，共用了四次。觀察上述8個算式，隻有6被用了4次，所以正中間方格中應填6。

然後确定四個角的數。四個角的數都用了三次，而上述8個算式中隻有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3應填在四個角上。但還應兼顧兩條對角線上三個數的和都為18。

最後确定其它方格中的數。如圖。

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