應同事之邀，來研究“祖暅原理”，說實話，對這個原理之前我還真沒有深入研究，原因很簡單，高考不考。這也從側面反映小編對數學的功利性以及不嚴謹的治學态度。改正，馬上改正，知錯就改，一直以來都是小編的優良傳統。

祖暅，何許人也？在提他之前，先得說說這個“暅”字，讀作“geng”，四聲，與“更”同音，是不是有人在擦汗，是不是有人象以前的我一樣，小編第一次看到這個的時候，就讀作“恒”，秀才識字讀半邊嘛，呵呵！這從另外一個角度也告訴我們一件事，就是各位看官在以後給孩子取名的時候，千萬别隻顧炫耀自己的文采，給孩子弄個生僻字，免得别人和你家孩子都尴尬。忽然想起一個笑話：有個學生名字叫“馬騳[dú]骉”，開學點名了，班主任不知怎麼念，所以每當上課點名的時候，總愛說馬叉叉到了沒。語文課上，語文老師有點文學素養，問：萬馬奔騰到了沒？接下來是體育課，體育老師直接改用“一群馬到了沒”。曆史老師對這個名字很不感冒，于是點名：馬家的五馬分屍來了沒有……作為插曲，博大家一笑。書歸正傳，祖暅，何許人也？字景爍，範陽郡薊縣人，也就是如今我們大河北省涞源縣人。南北朝時期的偉大數學家、天文學家，說到這裡，大家可能會想起一個人，祖沖之，也是這個時期的，都姓祖，那他們倆是不是有關系？有，還真有，并且很近。正所謂“老子英雄兒好漢”。這個祖暅就是祖沖之的兒子，親生的。當然大家可能聽到老子更多一些，但這個祖暅也是一個了不起的好漢，他在數學上有着突出的貢獻。今天我們不表他的其他成就，單談一談他在5世紀末提出的“祖暅原理：緣幂勢既同，則積不容異。”“幂”是截面積，“勢”是立體的高。意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等。更詳細點說就是，界于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積恒相等，則這兩個立體的體積相等。上述原理在中國被稱為祖暅原理。

當然，我們也可以從微觀角度來解釋，我們都知道“點動成線，線動成面，面動成體”這句話，直線由點構成，點的多少表示直線的長短；面由線構成，也就是由點構成，點的多少表示面積的大小；幾何體由面構成，就是由線構成，最終也就是由點構成，點的多少也表示了體積的大小，要想讓兩個幾何體的體積相等，也就是讓構成這兩個幾何體的點的數量相同，祖暅原理就運用到了它。兩個幾何體夾在兩平行平面中間，可以理解為這兩個幾何體平行面間的的高度相等。兩平行面之間的距離一定，若視距離為一條線段，那麼這個距離上就有無數個點，過一個點，可以畫出一個平行于兩平行面的截面，若兩幾何體在被過每一點的平行截面截出的截面面積兩兩相等，則說明兩幾何體在同一高度下的每兩個截面上的點的數量相同。有無數個截面，同一高度每兩個幾何體的截面上的點的數量相同，則說明，這兩個幾何體所擁有的點數量相同，那麼也就是說，它們的體積相同。所以我們可以用這種思想來理解祖暅原理。

我們利用“祖暅原理”以及長方體公式，我們很容易推出柱體、錐體、球體的公式。實際上“祖暅原理”就是祖暅同他的老爺子祖沖之一起解決球面積、體積問題時衍生出來的。

一、柱體

設有底面面積都等于S，高都等于h的任意一個棱柱、一個圓柱和一個長方體，使它們的下底面在同一個平面内，由柱體的定義，平行于底面的任意平面截柱體得到與底面全等的圖形，所以面積相等。根據“祖暅原理”，可知它們的體積相等，由長方體的體積公式，可以得到：

二、錐體

我們先來研究棱錐。

設有底面面積都等于S，高都等于h的任意兩個棱錐，使它們的下底面在同一個平面内，由棱錐的定義，平行于底面的任意平面截錐體得到與底面相似的圖形。

進而得到平行于底面的任意平面截錐體得到的截面面積相等，根據“祖暅原理”，可知它們的體積相等，即底面積相等，高相等的錐體體積相等。

由三棱錐體積公式可以得到

三、球體

為了解決球體的體積，我們先來研究半球的體積，如果要想利用祖暅原理，我們需要構造一個可以求出體積的，并且它和半球的高度一樣，并且用任何一個水平面去截它們時，得到的截面面積都相等的幾何體。這種構造堪稱中學教材上構造性的典範。

由此可以知道，利用祖暅原理求幾何體的體積，關鍵是找出一個滿足條件的能夠求出體積的幾何體，實際上我們也可以由“祖暅原理”推導出橢球體，旋轉抛物體以及旋轉單葉雙曲面所圍成的幾何體的體積。有興趣的同學可以嘗試解決一下。

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