最近我開啟了“量子力學之路”系列,旨在從數理角度從零解釋量子力學。正如我在系列的第一篇文章量子力學之路——堅實的數理基礎至關重要,沒有捷徑可走中提到的那樣,學習量子力學有一些先決條件,而一些先決條件并不簡單,如很多數學主題,這些主題我在“量子力學之路”系列中一般都會講到,但不會深入。因此我決定同步開啟“微分方程”系列,這是本系列的第一篇文章。
複數複數就是形如x iy的數字,其中x和y是實數,i^2=-1。實數x和y分别稱為z的實部和虛部,表示為:
如果z=x iy,則z̅=x-iy稱為z的複共轭。很容易得出:
定理(1)
對于複數z和w,有以下7個性質:
笛卡爾和指數形式
複數可以繪制在一個矩形網格上,類似于實數對(x,y)被繪制在一個直角坐标系統上。你可以簡單地用一對實數(x,y)來确定複數z=x iy,并繪制(x,y)。y軸稱為虛軸,x軸稱為實軸。
也可以用極坐标(θ, r)來表示:
定理(2)(很重要)
對于複數z=x iy,
多項式方程的根
設p_n(x)和q_n(x)為n次多項式,可以假設p_n(x)的形式為:
系數a_i可能不是實數,但在本系列文章中它們總是實數。在任何情況下,代數基本定理表明,方程p_n(x)=0有n個解。
假設x=r是p_n(x)的根。那麼:
如果p_n(x)除以x-r,就得到恒等式:
其中R為常數,q_(n-1)(x)為n-1次多項式。因此,
但上面的式子是關于x的恒等式,通過令x=r,我們可以得到r =0當且僅當p_n(r)=0,也就是說,當且僅當r是p_n(x)的根。
定理(3)
對于每一個多項式
存在n個複數r_1, r_2,…,r_n,稱為多項式的根,使得
而且,對于一些i,如果p_n(r)=0,則r=r_i。
定理(4)
假設r=a ib, b≠0,是下面多項式的根
那r的共轭( r̅=a-ib)也是多項式的一個根。
矩陣表示矩陣是一組數字的矩形數組。一般來說,矩陣用黑體字大寫字母表示。我們用A來表示p×q矩陣,它的元素是a_ij。也就是
隻有一列的矩陣稱為向量。我們用黑體小寫字母來表示向量,這與我們對矩陣的約定一緻。A的列向量就是
對于聯立方程組
系數矩陣為
右邊常數用向量b表示:
增廣矩陣B由A和b表示:
未知量用向量x表示:
行數和列數相同的矩陣稱為方陣。方陣的非對角元素是a_ij,其中i≠j。非對角元素都為零的方陣稱為對角陣。
I_n矩陣(其中n是正整數),是所有對角元素都是1的對角矩陣。這些矩陣稱為單位矩陣。所以:
是單位矩陣。I_n的列被賦予特殊的符号e_1,e_2,…,e_n;也就是:
當上下文明确了I_n的大小時,就可以去掉下标n。那些位于對角線以下的非對角線項為零的方陣稱為上三角矩陣(上三角矩陣同理可得)。
我們定義0矩陣O_n為nXn矩陣,它所有的元素都是0。所以O_n也是對角線。
方程組的解我們可以用消元法來解方程組。注意消去過程很大程度上依賴于每個方程中未知變量的系數。
把方程組的系數和方程組右邊的常數放在一起得到一個增廣矩陣。化簡這個增廣矩陣可以得到方程組的解。注意,當系數矩陣簡化為單位矩陣時,右邊的系數列就是解向量。
從矩陣A到矩陣B的算術步驟叫做初等行運算。這些運算分為三種類型:
這裡的關鍵點是初等行運算用另一個方程組替換了一個方程組,後者的解集與前者的解集相同。這種解法稱為高斯消去法。
矩陣代數設m×n矩陣A和B為:
對于所有的i和j,如果a_ij=b_ij,則A=B。因此,兩個矩陣相等,意味着矩陣相應項相等。
我們現在定義矩陣A B和矩陣與任意标量k的乘法:
由上面的定義可以得到下列代數規則:
用第一列替換第一行,用第二列替換第二行,以此類推,直到所有的列都變成行。由這個交換得到的矩陣稱為原矩陣的轉置,[a_ij]^T=[a_ji]。我們用A^T來表示A的轉置。
一個向量的轉置是一個隻有一行的矩陣,有時稱為行向量。為了避免混淆,我們用逗号分隔行向量的各個元素。
請注意,轉置和加法的定義引出了這樣的結論:C=A B意味着C^T=A^T B^T。
如果矩陣A等于它自己的轉置,即A^T=A,那麼它就是對稱的;如果A^T=-A,那麼它是反對稱的。對稱矩陣和反對稱矩陣必須是方陣。
矩陣乘法如果A是m×q矩陣,元素為a_ij ;B是q×n矩陣,元素為b_ij,那麼乘積C=AB是m×n矩陣,c_ij為:
為了使上面的定義有意義,A的每一行必須有和B的每一列有一樣多的元素。這意味着A的列數必須與B的行數相同。
因此,如果A是2×3矩陣, B是3×3矩陣,那麼AB是有定義的,而BA沒有定義。因此矩陣乘法是不滿足交換律的。
以下事實适用于所有大小兼容的A、B和C:
能說明矩陣乘法的特性的一個例子:
這表明即使A和B都不為0,AB也可以是0。
兩個矩陣乘積的轉置,是它們轉置的逆序乘積:
這個結果擴展到三個或更多個矩陣的乘積。
矩陣乘法提供了一種将方程組寫成緊湊形式的方法。
上面可以寫成Ax=b。我們将反複使用這個表達。在不明确A的大小的情況下,我們假設A是m×n,因此x是一個有n個元素的向量,b是一個有m個元素的向量,盡管在大多數應用中m=n。
矩陣的逆為了達到類似的目的,我們引入了矩陣逆的符号。如果存在一個方陣B,使AB=I=BA,那麼方陣A就是非奇異的,或者說有一個逆,或者說是可逆的。很明顯,不是所有的矩陣都有逆矩陣。
由于A的逆矩陣隻有一個,所以如果AB=I=BA成立,我們稱B為A的逆矩陣,并将B寫成A^(-1)。用這種表示法,AB=I=BA可以寫成AA^(-1)=(A^(-1))(A)=I。
一個不可逆的方陣就是一個A^(-1)不存在的方陣。這樣的矩陣稱為奇異或不可逆矩陣。
如果A是2x2矩陣
且ad-bc≠0,那麼
定理(5)
假設A和B都是可逆的。那麼
定理(6)
假設A是可逆的。那麼Ax=b有且隻有一個解,x=A^(-1)b。
結論(1)
當且僅當A是奇異陣時,方程組Ax=0有解x≠0。當且僅當A是可逆的,這個方程組隻有解x=0。
行列式定義與基本定理
A的行列式是一個隻在方陣中定義的标量,記作det(A)。它有n的階乘項,每一項是A的元素的正負乘積:
其中第二個下标,由∗表示,是數字{1,2,…,n}之一,其中沒有一個被使用兩次。指數k是第二個下标的逆序數。因此,
由于數字{1,2,…,n}的每個排列都有一項,所以上面的和包含n的階乘項。由于這個原因,實際上并不使用上面的求和來計算。如果n=2,定義是容易使用的,
有兩種常用的det(A)的求值方法。在本節中,我們将探讨最高效的方法。該方法依賴于兩個基本定理:
定理(7)
如果A是上或下三角矩陣,對角元素為a_11,a_22,…,a_nn,那麼det(A)=(a_11)(a_22)…(a_nn)。
定理(8)
設A是一個方陣。
這兩個定理為計算行列式提供了一種有效的方法。注意,定理8描述了初等行運算對det(A)的影響。
我們可以快速準确地計算初等行變換的結果。所以對于含有已知常數項的矩陣,行化成三角矩陣是計算行列式的首選方法。對于有參數項的矩陣,通常使用其他方法。
由于矩陣乘法和行列式的定義複雜,乘積的行列式和行列式的乘積之間存在着一種簡單的關系:
定理(9)
如果A和B是方陣,det(AB)=det(A)det(B)
如果det(A)=0,那麼A一定是奇異的。反之亦然。
定理(10)
det(A)=0是A是奇異的一個充要條件。
定理(11)
對于每個方陣A,det(A)=det(A^T)
餘子式與代數餘子式a_ij的餘子式是,去掉A的第i行和第j列形成的矩陣的行列式。
a_ij的代數餘子式寫成A_ij,等于餘子式乘以 (-1)^(i j)。代數餘子式的重要性是由于以下的重要定理:
定理(12)
對于每個i和j,
線性獨立(線性無關)
方程組Ax=0可以有無窮多個解。為了描述這種系統的所有解的集合,我們必須首先理解線性無關的概念。
假設已知k個向量a_1, a_2,…,a_k和k個标量c_1 ,c_2…,c_k。考慮到表達式
不是全部為零如果上面的方程對某些标量成立(不是全部為零),那麼向量a_1,a_2,…,a_k就是線性相關的,标量c_1,c_2,…,c_k就叫作權值。由上式可知
其中 c_1≠0。上面的方程表明a_1是其他向量的“加權和”。
如果一個給定的向量組不是線性相關的,那麼它稱為線性無關的。由于線性無關的集合不可能存在依賴關系,
意味着所有的标量系數必須是零。
一般來說,我們不能輕易判定一個向量組是否是線性無關的,也不能輕易求出權值(如果向量組是線性相關的)。
但我們可以把上式重寫為矩陣向量的形式,為此,定義一個矩陣A,它的列是向量a_1,a_2,…,a_k,它的項的權值是c_1,c_2,…,a_k。因此:
根據矩陣乘法的定義:
因此,當且僅當 Ac=0存在非零解時,矩陣A的列向量才是線性無關的。那麼,c的元素就是權值。
如果矩陣A是方陣,那麼基于線性相關的行列式的判據是可能和方便的。基本的思想是:如果A是可逆的,那麼推論1,系統Ac 0隻有平凡解,因為
證明了c一定是0。下面的定理将det(A)與A的行和列的線性無關聯系起來。
定理(13)
當且僅當det(A)≠0時,n×n矩陣A的行(列)是線性無關的。
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