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微分方程教程

生活 更新时间:2025-01-08 04:52:13

微分方程教程(微分方程第一步)1

最近我開啟了“量子力學之路”系列,旨在從數理角度從零解釋量子力學。正如我在系列的第一篇文章量子力學之路——堅實的數理基礎至關重要,沒有捷徑可走中提到的那樣,學習量子力學有一些先決條件,而一些先決條件并不簡單,如很多數學主題,這些主題我在“量子力學之路”系列中一般都會講到,但不會深入。因此我決定同步開啟“微分方程”系列,這是本系列的第一篇文章。

複數

複數就是形如x iy的數字,其中xy是實數,i^2=-1。實數xy分别稱為z的實部和虛部,表示為:

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如果z=x iy,則z̅=x-iy稱為z的複共轭。很容易得出:

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定理(1)

對于複數zw,有以下7個性質:

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笛卡爾和指數形式

複數可以繪制在一個矩形網格上,類似于實數對(x,y)被繪制在一個直角坐标系統上。你可以簡單地用一對實數(x,y)來确定複數z=x iy,并繪制(x,y)。y軸稱為虛軸,x軸稱為實軸。

也可以用極坐标(θ, r)來表示:

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定理(2)(很重要)

對于複數z=x iy,

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多項式方程的根

設p_n(x)和q_n(x)為n次多項式,可以假設p_n(x)的形式為:

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系數a_i可能不是實數,但在本系列文章中它們總是實數。在任何情況下,代數基本定理表明,方程p_n(x)=0有n個解。

假設x=r是p_n(x)的根。那麼:

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如果p_n(x)除以x-r,就得到恒等式:

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其中R為常數,q_(n-1)(x)為n-1次多項式。因此,

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但上面的式子是關于x的恒等式,通過令x=r,我們可以得到r =0當且僅當p_n(r)=0,也就是說,當且僅當r是p_n(x)的根。

定理(3)

對于每一個多項式

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存在n個複數r_1, r_2,…,r_n,稱為多項式的根,使得

  1. P_n (r_i)=0,對于所有i=1,2,…,n
  2. p_n(x)=(x-r_1)(x-r_2)…(x-r_n)

而且,對于一些i,如果p_n(r)=0,則r=r_i。

定理(4)

假設r=a ib, b≠0,是下面多項式的根

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那r的共轭( r̅=a-ib)也是多項式的一個根。

矩陣表示

矩陣是一組數字的矩形數組。一般來說,矩陣用黑體字大寫字母表示。我們用A來表示p×q矩陣,它的元素是a_ij。也就是

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隻有一列的矩陣稱為向量。我們用黑體小寫字母來表示向量,這與我們對矩陣的約定一緻。A的列向量就是

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對于聯立方程組

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系數矩陣為

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右邊常數用向量b表示:

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增廣矩陣BAb表示:

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未知量用向量x表示:

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行數和列數相同的矩陣稱為方陣。方陣的非對角元素是a_ij,其中i≠j。非對角元素都為零的方陣稱為對角陣

I_n矩陣(其中n是正整數),是所有對角元素都是1的對角矩陣。這些矩陣稱為單位矩陣。所以:

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是單位矩陣。I_n的列被賦予特殊的符号e_1,e_2,…,e_n;也就是:

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當上下文明确了I_n的大小時,就可以去掉下标n。那些位于對角線以下的非對角線項為零的方陣稱為上三角矩陣(上三角矩陣同理可得

我們定義0矩陣O_n為nXn矩陣,它所有的元素都是0。所以O_n也是對角線。

方程組的解

我們可以用消元法來解方程組。注意消去過程很大程度上依賴于每個方程中未知變量的系數。

把方程組的系數和方程組右邊的常數放在一起得到一個增廣矩陣。化簡這個增廣矩陣可以得到方程組的解。注意,當系數矩陣簡化為單位矩陣時,右邊的系數列就是解向量

從矩陣A到矩陣B的算術步驟叫做初等行運算。這些運算分為三種類型:

  1. 交換任意兩行。
  2. 将一行乘以一個非零标量。
  3. 将一行的α倍添加到另一行的β倍。

這裡的關鍵點是初等行運算用另一個方程組替換了一個方程組後者的解集與前者的解集相同。這種解法稱為高斯消去法

矩陣代數

設m×n矩陣AB為:

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對于所有的i和j,如果a_ij=b_ij,則A=B。因此,兩個矩陣相等,意味着矩陣相應項相等。

我們現在定義矩陣A B和矩陣與任意标量k的乘法:

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由上面的定義可以得到下列代數規則:

  1. A B=B A
  2. A (B C)=(A B) C
  3. A O=A
  4. A (-1)A=O
  5. 0A=O
  6. k(hA)=(kh)A
  7. k(A B)=kA kB
  8. (k h)A=kA hA

用第一列替換第一行,用第二列替換第二行,以此類推,直到所有的列都變成行。由這個交換得到的矩陣稱為原矩陣的轉置,[a_ij]^T=[a_ji]。我們用A^T來表示A的轉置。

一個向量的轉置是一個隻有一行的矩陣,有時稱為行向量。為了避免混淆,我們用逗号分隔行向量的各個元素。

請注意,轉置和加法的定義引出了這樣的結論:C=A B意味着C^T=A^T B^T。

如果矩陣A等于它自己的轉置,即A^T=A,那麼它就是對稱的;如果A^T=-A,那麼它是反對稱的。對稱矩陣和反對稱矩陣必須是方陣。

矩陣乘法

如果A是m×q矩陣,元素為a_ij ;B是q×n矩陣,元素為b_ij,那麼乘積C=AB是m×n矩陣,c_ij為:

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為了使上面的定義有意義,A的每一行必須有和B的每一列有一樣多的元素。這意味着A的列數必須與B的行數相同。

因此,如果A是2×3矩陣, B是3×3矩陣,那麼AB是有定義的,而BA沒有定義。因此矩陣乘法是不滿足交換律的。

以下事實适用于所有大小兼容的A、B和C:

  1. A(BC)=(AB)C
  2. A(A C)=AB AC
  3. (B C)A=BA CA

能說明矩陣乘法的特性的一個例子:

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這表明即使AB都不為0AB也可以是0

兩個矩陣乘積的轉置,是它們轉置的逆序乘積:

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這個結果擴展到三個或更多個矩陣的乘積。

矩陣乘法提供了一種将方程組寫成緊湊形式的方法。

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上面可以寫成Ax=b。我們将反複使用這個表達。在不明确A的大小的情況下,我們假設A是m×n,因此x是一個有n個元素的向量,b是一個有m個元素的向量,盡管在大多數應用中m=n。

矩陣的逆

為了達到類似的目的,我們引入了矩陣逆的符号。如果存在一個方陣B,使AB=I=BA,那麼方陣A就是非奇異的,或者說有一個逆,或者說是可逆的。很明顯,不是所有的矩陣都有逆矩陣。

由于A的逆矩陣隻有一個,所以如果AB=I=BA成立,我們稱BA的逆矩陣,并将B寫成A^(-1)。用這種表示法,AB=I=BA可以寫成AA^(-1)=(A^(-1))(A)=I

一個不可逆的方陣就是一個A^(-1)不存在的方陣。這樣的矩陣稱為奇異或不可逆矩陣。

如果A是2x2矩陣

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且ad-bc≠0,那麼

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定理(5)

假設A和B都是可逆的。那麼

  1. (A^(-1))^(-1)=A
  2. (AB)^(-1)=(B^(-1))(A^(-1))
  3. (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T

定理(6)

假設A是可逆的。那麼Ax=b有且隻有一個解,x=A^(-1)b

結論(1)

當且僅當A是奇異陣時,方程組Ax=0有解x≠0。當且僅當A是可逆的,這個方程組隻有解x=0

行列式

定義與基本定理

A的行列式是一個隻在方陣中定義的标量,記作det(A)。它有n的階乘項,每一項是A的元素的正負乘積:

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其中第二個下标,由∗表示,是數字{1,2,…,n}之一,其中沒有一個被使用兩次。指數k是第二個下标的逆序數。因此,

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由于數字{1,2,…,n}的每個排列都有一項,所以上面的和包含n的階乘項。由于這個原因,實際上并不使用上面的求和來計算。如果n=2,定義是容易使用的,

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有兩種常用的det(A)的求值方法。在本節中,我們将探讨最高效的方法。該方法依賴于兩個基本定理:

定理(7)

如果A是上或下三角矩陣,對角元素為a_11,a_22,…,a_nn,那麼det(A)=(a_11)(a_22)…(a_nn)。

定理(8)

A是一個方陣。

  1. 如果A的兩行元素互換形成B,那麼,det(A)=-det(B)
  2. 如果A的一行乘以k得到B,那麼kdet(A)=det(B)
  3. 如果A的一行的倍數加到A的另一行形成B, 那麼det(A)=det(B)

這兩個定理為計算行列式提供了一種有效的方法。注意,定理8描述了初等行運算對det(A)的影響。

我們可以快速準确地計算初等行變換的結果。所以對于含有已知常數項的矩陣,行化成三角矩陣是計算行列式的首選方法。對于有參數項的矩陣,通常使用其他方法。

由于矩陣乘法和行列式的定義複雜,乘積的行列式行列式的乘積之間存在着一種簡單的關系:

定理(9)

如果AB是方陣,det(AB)=det(A)det(B)

如果det(A)=0,那麼A一定是奇異的。反之亦然。

定理(10)

det(A)=0是A是奇異的一個充要條件。

定理(11)

對于每個方陣A,det(A)=det(A^T)

餘子式與代數餘子式

a_ij的餘子式是去掉A的第i行和第j列形成的矩陣的行列式。

a_ij的代數餘子式寫成A_ij,等于餘子式乘以 (-1)^(i j)。代數餘子式的重要性是由于以下的重要定理:

定理(12)

對于每個i和j,

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線性獨立(線性無關)

方程組Ax=0可以有無窮多個解。為了描述這種系統的所有解的集合,我們必須首先理解線性無關的概念。

假設已知k個向量a_1, a_2,…,a_k和k個标量c_1 ,c_2…,c_k。考慮到表達式

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不是全部為零如果上面的方程對某些标量成立(不是全部為零),那麼向量a_1,a_2,…,a_k就是線性相關的,标量c_1,c_2,…,c_k就叫作權值。由上式可知

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其中 c_1≠0。上面的方程表明a_1是其他向量的“加權和”。

如果一個給定的向量組不是線性相關的,那麼它稱為線性無關的。由于線性無關的集合不可能存在依賴關系

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意味着所有的标量系數必須是零。

一般來說,我們不能輕易判定一個向量組是否是線性無關的,也不能輕易求出權值(如果向量組是線性相關的)。

但我們可以把上式重寫為矩陣向量的形式,為此,定義一個矩陣A,它的列是向量a_1,a_2,…,a_k,它的項的權值是c_1,c_2,…,a_k。因此:

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根據矩陣乘法的定義:

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因此,當且僅當 Ac=0存在非零解時,矩陣A的列向量才是線性無關的。那麼,c的元素就是權值。

如果矩陣A是方陣,那麼基于線性相關的行列式的判據是可能和方便的。基本的思想是:如果A是可逆的,那麼推論1,系統Ac 0隻有平凡解,因為

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證明了c一定是0。下面的定理将det(A)與A的行和列的線性無關聯系起來。

定理(13)

當且僅當det(A)≠0時,n×n矩陣A的行(列)是線性無關的。

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