本文轉載于“高中數學解題研究會339444963”,略有修改
函數的最大值和最小值是函數的一項重要性質,實用性非常強。值域問題一般可以轉化為最值問題。高一求重點學習的是配方法、單調性法、換元法等,到了高二還會學習導數法。
适用說明現階段成績在0分-60分的同學重點關注方法一、方法二、方法三;60分-90分的同學重點關注方法四、方法五;90分-120分的同學重點關注方法六、方法七。
基礎(0分-60分的同學重點關注)方法一:配方法
主要用于和一元二次函數有關的函數求值域問題。
評注:配方法往往需結合函數圖象求值域。
方法二:單調性法
單調性法是求函數值域的常用方法,就是利用我們所學的基本初等函數的單調性,再根據所給定義域來确定函數的值域。
初階(60分-90分的同學重點關注)
方法四:換元法
有時候為了溝通已知與未知的聯系,我們常常引進一個(幾個)新的量來代替原來的量,實行這種“變量代換”往往可以暴露已知與未知之間被表面形式掩蓋着的實質,發現解題方向,這就是換元法。
在求值域時,我們可以通過換元将所給函數化成值域容易确定的另一函數,從而求得原函數的值域。
評注:利用引入的新變量t,使原函數消去了根号,轉化成了關于t的一元二次函數,使問題得以解決。用換元法求函數值域時,必須确定新變量的取值範圍,它是新函數的定義域。
方法五:反解法
就是用y來表示x,利用其變形形式求得原函數的值域。
中階(90分-120分的同學重點關注)
方法六:分離常數法
對于分子、分母同次的分式形式的函數求值域問題,因為分子分母都有變量,利用函數單調性确定其值域較困難。
因此,我們可以采用湊配分子的方法,把函數分離成一個常數和一個分式和的形式,而此時的分式,隻有分母上含有變量,進而可利用函數性質确定其值域。
方法七:判别式法
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