我們在日常生活中經常會遇到編排正方形體操隊列，在正方形台上操場上鮮

花、插彩旗，在正方形棋盤上擺棋子等問題。學生排隊，士兵列隊，橫着排叫做

行，豎着排叫做列。如果行數與列數都相等，則正好排成一個正方形。在數學中

我們稱這類問題為方陣問題。中間是實心的方陣叫作實心方陣，中間空心的方陣

叫作空心方陣，求空心方陣的總點數，也可以看作由 4 個相同的長方形點陣組合

而成。方陣問題的核心是求最外層每邊人數。

将若幹人或物體按一定條件排成正方形，稱為方陣。根據已知條件求總人數

或總物數，這類問題就叫做方陣問題。

方陣中，行數和列數相等；裡一層總比外一層的一邊少 2 個物體；裡一層

物體的個數一定比上一層物體總個數少 8 個。

（1）實心方陣

（2）空心方陣

（1）實心心方陣（核心公式）：

每層數=（每邊數-1）×4 或者每層數=每邊數×4－4；

每邊數=每層數÷4 1；

實心方陣：物體總數=最外層的一邊個數的平方=外層每邊數×每邊數。

（2）空心方陣（核心公式）：

外層每邊數=總數÷4÷層數 層數；

每層數=（每邊數-1）×4；

内層數=外層數-8

物體總數=（最外層一邊個數-層數）×層數×4=（最外層層數 最内層層數）

×層數÷2

（3）去掉一行、一列的總數=去掉的每邊數×2-1；

（4）實心方陣的總數是一完全平方數，空心方陣的總數是 4 的倍數。

方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘；空心方陣

的變化較多，其解答方法應根據具體情況确定。

（1）圖示法

（2）公式法

例 1、在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行 22 人，

參加體操表演的同學一共有多少人？

【分析】體操表演排成的方陣是實心方陣，根據公式物體總數=每邊數×每

邊數，可以求出一共有多少人參加表演。由題可知，每邊數是 22 人。

【解答】22×22=484（人）

答：參加體操表演的同學一共有 484 人。

例 2、中學生運動會，準備在正方形的操場插上彩旗。如果四個角上都要插

上一面彩旗，要使每邊有 7 面彩旗，那麼一共要準備多少面彩旗？

（1）圖示法

【分析】根據題意畫出如下示意圖：

【解答】解法 1 從上圖可以看出角上的四面旗各屬于兩行，所以，彩旗的

總數應該為 7×4-4=24（面）。

解法 2 把場地周圍的彩旗分成相等的四部分，可以看出彩旗總數為（7-1）

×4=24（面）。

解法 3 先除去四角上的四面旗，再把旗分成四部分，把總數算出來，再加

上四角上的面，可得出彩旗的總數為（7-2）×4 4=24（面）。

解法 4 先算出兩邊的彩旗數，再算出另外兩邊的彩旗數，彩旗的總數為

7×2 （7-2）×2=24（面）

（2）公式法

【分析】這些彩旗組成了一個一層空心方陣，根據公式空心方陣物體的總數

=（最外層一邊個數-層數）×層數×4 可求出彩旗總數。

【解答】（7-1）×1×4=24（面）

答：一共要準備 24 面彩旗。

例 3、參加中學生運動會團體操表演的運動員排成了一個正方形隊列。如果

要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少 33 人。問參加團體操表演的運

動員有多少人？

（1）圖示法

【分析】如下圖表示的是一個五行五列的正方形隊列，從圖中可以看出正方

形每行、每列人數相等；不管是減去哪一行、哪一列，隻要是同時橫豎各減少一

排，那麼必然有 1 人而且隻有 1 人是同時屬于被減去的一行和一列，也就是去掉

橫豎各一排時，去掉的總人數是原每行人數×2-1 或者是減少後每行人數×2 1。

【解答】解法 1 先利用去掉橫豎各一排時，去掉的總人數=原每行人數

×2-1，原每行人數=（去掉的總人數 1）÷2，求出團體操隊列每行有多少人，

再求參加團體操運動員的人數。

原每行人數：（33 1）÷2=17（人）

總人數：17×17=289（人）

解法 2 利用去掉橫豎各一排時，去掉的總人數=減少後的每行人數×2 1，

減少後每行人數=（去掉總人數-1）÷2，求出減少人數後的團體操隊列的每行人

數，再求參加團體操的運動員人數。

減少後每行人數：（33-1）÷2=16（人）

總人數：16×16 33=289（人）

（2）公式法

【分析】實心方陣去掉一行、一列，則去掉一行、一列的總人數=去掉的每

邊人數×2-1，所以利用此公式可求出去掉的每邊人數，去掉的每邊數就是原外

層每邊數，而實心方陣物體總數=最外層的一邊個數的平方=外層每邊數×每邊數，

可求出參加團體操的運動員人數。

【解答】（33 1）÷2=17（人）

17×17=289（人）

答：參加團體操表演的有 289 人。

例 4、"六一"節用鮮花在演出台周圍排成一個四層空心方陣，最外面一層

每邊有鮮花 12 盆，擺這個方陣共用了多少盆鮮花？

（1）圖示法

【分析】如下圖是四層空心方陣圖，通過觀察可以看出，内層每邊的個數都比

相鄰外層的每邊個數少 2。每相鄰兩層之間，每層的總數相差 8 個，因此，知道

方陣中某一層的鮮花總數，就可以求出各層鮮花的總數。

【解答】解法 1 最外層的鮮花總數：12×4-4=44（盆）

共有鮮花：44 （44-8） （44-8×2） （44-8×3）

=44 36 28 20

=128（盆）

解法 2 先看成要排成每排 12 盆，一共 12 排的實心方陣，求出鮮花總數，

再減去中間部分實際不存在的鮮花數。中間部分實際不存在的鮮花數可看成從第

五層開始，最外邊數為（12-2×4）的實心方陣。

12×12-（12-2×4）×（12-2×4）

=144-16

=128（盆）

（2）公式法

【分析】這些鮮花圍成了最外面一層為 12 盆的四層空心方陣。根據空心方

陣公式物體的總數=（最外層一邊個數-層數）×層數×4，可求出擺這個方陣共

用了多少盆鮮花。

【解答】（12-4）×4×4

=8×4×4

=32×4

=128（盆）

答：擺這個方陣共用了 128 盆鮮花。

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