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方程的根用無限根式表示

生活更新时间:2025-10-29 11:07:16

這是一個含有立方的多項式，如果它在-1,0,1三個點的位置等于0

方程的根用無限根式表示（歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx）1

那麼這個立方多項式就可以寫成如下形式：每個0點位置都有一個乘積因式

方程的根用無限根式表示（歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx）2

通過在垂直方向非零常量進行縮放，可以輕松解決問題

方程的根用無限根式表示（歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx）3

如果您知道一個有n個0點的n次方程，該又該如何确定呢？如下sinx，歐拉和他的夥伴都思考了這個問題，這個無窮多項式就是著名的正弦麥克勞林級數

方程的根用無限根式表示（歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx）4

對于正弦函數，從0開始，它有無窮多個0點位置

方程的根用無限根式表示（歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx）5

所以我們的正弦公式應該是一個無窮的乘積

方程的根用無限根式表示（歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx）6

方程的根用無限根式表示（歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx）7

但為了結果更加精确，正弦值應是這些乘積乘以某個非0 的常數c，也就是如下樣式

方程的根用無限根式表示（歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx）8

讓我們繼續追随歐拉的想象力，以确定這個常數c，歐拉用左邊的sinx除以X，如下就是sinx/x的函數圖形

方程的根用無限根式表示（歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx）9

将x=0，左邊sinx/x絕對不是0，其極限等于1

方程的根用無限根式表示（歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx）10

所以，也就是如下形式

方程的根用無限根式表示（歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx）11

所以c就等于

方程的根用無限根式表示（歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx）12

接着，我們将這個瘋狂的c插入到原始的公式中

方程的根用無限根式表示（歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx）13

将含有π的分數分配到每個乘積因式中

方程的根用無限根式表示（歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx）14

我們就得到sinx完美的根式解形式的表達式

方程的根用無限根式表示（歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx）15

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