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方程的根用無限根式表示

生活 更新时间:2025-02-01 18:19:55

這是一個含有立方的多項式,如果它在-1,0,1三個點的位置等于0

方程的根用無限根式表示(歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx)1

那麼這個立方多項式就可以寫成如下形式:每個0點位置都有一個乘積因式

方程的根用無限根式表示(歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx)2

通過在垂直方向非零常量進行縮放,可以輕松解決問題

方程的根用無限根式表示(歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx)3

如果您知道一個有n個0點的n次方程,該又該如何确定呢?如下sinx,歐拉和他的夥伴都思考了這個問題,這個無窮多項式就是著名的正弦麥克勞林級數

方程的根用無限根式表示(歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx)4

對于正弦函數,從0開始,它有無窮多個0點位置

方程的根用無限根式表示(歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx)5

所以我們的正弦公式應該是一個無窮的乘積

方程的根用無限根式表示(歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx)6

方程的根用無限根式表示(歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx)7

但為了結果更加精确,正弦值應是這些乘積乘以某個非0 的常數c,也就是如下樣式

方程的根用無限根式表示(歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx)8

讓我們繼續追随歐拉的想象力,以确定這個常數c,歐拉用左邊的sinx除以X,如下就是sinx/x的函數圖形

方程的根用無限根式表示(歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx)9

将x=0,左邊sinx/x絕對不是0,其極限等于1

方程的根用無限根式表示(歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx)10

所以,也就是如下形式

方程的根用無限根式表示(歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx)11

所以c就等于

方程的根用無限根式表示(歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx)12

接着,我們将這個瘋狂的c插入到原始的公式中

方程的根用無限根式表示(歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx)13

将含有π的分數分配到每個乘積因式中

方程的根用無限根式表示(歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx)14

我們就得到sinx完美的根式解形式的表達式

方程的根用無限根式表示(歐拉是如何用根式解的形式表示方程sinx)15

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