作者| 慕課網精英講師 咚咚嗆

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最近有同學在問答區提到了一個很有意思的問題：為什麼0.1 0.2 = 0.30000...4？

這個問題是怎麼來的呢？有Python環境的同學，隻要打開Python終端，輸入0.1 0.2，就能得到0.3000000..4的結果。

那到底這是為什麼？今天就來探讨一下這個問題。

首先我們知道，計算機是以二進制的方式存儲數據的。

比如：5=101(2)，15=1111(2)，25=11001(2)，把十進制轉換成二進制的方式叫做重複相除法，過程大緻是這樣子的。

25/2= 12.....1 12/2=6......0 6/2=3......0 3/2=1......1 1/2=0......1 # 遵循兩個原則 # 1. 重複相除，直到商為0結束 # 2. 餘數結果從下往上得到二進制形式

我們也可以按照按權展開法，得到二進制轉換成十進制的結果，過程大緻是這樣子的。

11001= 1*2^4 1*2^3 1*2^0= 16 8 1= 25。

不過以上隻是整數形式的轉換方法，小數在計算機硬件上也是使用二進制表示的，不過轉換的方法有些不一樣，十進制小數轉換成二進制的方法叫做重複相乘法。

一般來說如果一個小數既有整數部分又有小數部分，那麼這個小數轉換成二進制是分成兩個部分轉換的，整數部分使用重複相除法，小數部分使用重複相乘法。

重複相乘法的大概過程是這個樣子的，比如想把十進制小數0.125轉換成二進制。

0.125*2=0.25=0.25 0 0.25*2=0.5=0.5 0 0.5*2=1=0.0 1 # 注意，這裡把結果分成了小于1和大于等于1的兩個部分，當小于1的部分=0時，結束運算。 # 大于等于1的部分，從上往下得到001即為0.125的小數結果(0.001)。

再舉一個複雜一點的例子：

小學我們學過，小數分為有限小數和無限小數，無限小數又分為無限循環小數和無限不循環小數。

同樣的，對于二進制小數來說，同樣有有限小數和無限小數兩大類。那麼重點來了，0.1和0.2在十進制小數裡面是有限小數，但是使用二進制表示的時候就不是了。

不信你使用重複相乘法計算一下試試：

# 運算可以得到： 0.1=0.0001100110011... # 它實際上是一個無限循環小數 0.1=0.0(0011) # 括号的0011即是無限循環的部分 # 同理得到0.2的二進制 0.2=0.(0011) # 括号的0011即是無限循環的部分

所以計算機是無法準确表示0.1和0.2兩個數的，隻能無限逼近這兩個數。假設計算機使用10位精度，則計算機裡面，0.1和0.2是這樣子的。

0.1=0.0001100110(2) 0.2=0.0011001100(2) # 現在我們使用二進制加法，運算兩個二進制數 0.0001100110 0.0011001100 ———————— 0.0100110010(2)

再把這個結果轉換成十進制

0.0100110010(2) = 1*(1/4) 1*(1/32) 1*(1/64) 1*(1/512) = 0.298828125< 3

可以看到這個數值已經很接近3了，如果把精度再調高為16位、32位甚至是64位，會得到更加接近3的結果。這就解釋了為什麼在十進制中運算和在二進制中運算，會得到不一樣的結果。

但是，這就完了嗎？還沒有。其實可以歸納總結到，不管精度是多少，這個結果應該是恒小于3的，而不可能是大于3的結果，因為在截取有效數時，總是把末尾的數值去掉了，那為什麼在Python這裡會大于3呢？

這主要是因為除了精度以外，計算機浮點數表示數據的時候還有對階、零舍一入等等的操作，會使得實際操作數比原操作數大一些。

在十進制中有四舍五入法。比如：

0.499999約等于 0.5 0.41999約等于 0.4

同樣的，在二進制中，有零舍一入的操作。

0.1001(2) 約等于 0.10(2) 0.1011(2) 約等于 0.11(2)

所以在二進制運算中，為了進行有效數值的運算，會對浮點數尾數進行零舍一入的操作，從而導緻真實值和計算值的偏差。

這就可以合理的解釋在Python中0.1 0.2為什麼等于0.3000...4了。

謝謝大家，希望對同學們有所幫助。

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