例題：（初中數學幾何題）如圖，已知正方形ABCD的中心為點O，正方形的面積為1989平方厘米，P為正方形内的一點，且滿足∠OPB=45°，PA:PB=5:14，求PB的長是多少厘米？
今天，數學世界給大家分析一道初中數學幾何題，此題的條件很簡短，圖形也很簡潔。這道題并不難，但是對于這樣的題目還是有不少同學不會做，就是因為他們不會添加輔助線。解本題的關鍵是運用四點共圓，正方形的性質以及勾股定理，再把已知條件和未知條件轉化到一個直角三角形中求解。下面，我們就一起來分析這道例題吧！
分析：由于正方形是非常特殊的四邊形，題中告訴了“正方形ABCD的中心為點O”，那麼O點就更特殊了，所以肯定要作輔助線，将O點與正方形的頂點連起來。
根據題意，就要連接OA，OB，可以推出OA=OB，∠AOB=90°，于是可以得到∠OAB=45°，再結合∠OPB=45°，即可得出O，P，A，B四點共圓。
由于圓周角定理可推出∠APB=90°，于是出現了直角三角形APB。由于PA:PB=5:14，所以可設PA=5x，則PB=14x，而AB^2就是正方形的面積1989。此時通過勾股定理得到方程，進一步即可求出PB的長。
解：連接OA，OB，
∵正方形ABCD的中心為點O，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠OPB=45°，
∴∠OPB=∠OAB，
∴O，P，A，B四點共圓，
∴∠APB=∠AOB=90°，
在△PAB中，由勾股定理，得：
PA^2 PB^2=AB^2，
∵正方形的面積為1989平方厘米，
∴AB^2=1989,
由于PA:PB=5:14，設PA=5x，則PB=14x，
得（5x）^2 （14x）^2=1989，
解得：x=3或x=-3（舍去）
∴PB=14x=42，
即PB的長是42厘米。（完）
溫馨提示：由于文章是原創作者貓哥一字一句打出來的，所以文中可能會出現一些不影響閱讀的錯誤，還請大家諒解！
鄭重聲明：這裡全部文章均由貓哥原創，“數學世界”專注小學和初中數學知識分享。若朋友們還有不明白的地方或者有更好的解題方法，歡迎留言參與讨論。
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