話題：#科學# #數學# #邏輯學#

小石頭/編

（由于，在科普數學過程中，會經常用到 一階謂詞邏輯語言，所以 寫一篇文章，對其進行簡單的介紹。這裡的目标是，數學中夠用，所有并不會涉及《模型論》和《證明論》部分。）

我們在日常生活中經常需要做判斷，例如：

• 老張是狐狸公司的CEO。⑴

稱這些判斷句為命題。

命題常常會被驗證，邏輯學要求，驗證有明确的結果，即：

• 要麼命題是真實的，要麼命題是虛假的；☆

命題的驗證結果 被稱為 命題的 邏輯值，顯然，真（記為 T） 和 假（記為 F）是唯二的邏輯值。值為真的命題 稱為 真命題，值為假的命題 稱為 假命題。

注：☆ 含有兩層意思，

排中律：命題值 隻能 是 T 或 F；

矛盾律：命題值 不能 同時是 T 或 F；

有一些命題會包含其它命題，例如：

命題，

• 老張有錢并且會物理。⑵

就包括兩個命題，

• 老張有錢；⑶
• 老張會物理。⑷

我們稱這類命題為 複合命題，而不是複合命題的命題則被稱為 原子命題，如前面上面的 ⑴，⑶ 和 ⑷ 都是原子命題。

複合命題都是通過 聯詞 将其所包含的命題關聯起來而構成的，例如，⑵ 是通過 “...并且...” 連接⑶和⑷而而成。自然語言中，有多個聯詞表示同一個關聯關系，例如，⑵ 還可以寫成：

• 老張既有錢又會物理。⑵‘

聯詞 ”既 ...又...“ 和 “...并且...” 都是并列關系，功能相同。為了表述的一緻，我們用 邏輯符号 ∧ （稱為和取） 來表示 “...與...”、 ”既 ...又...“ 、“...并且...” 等。若再令 ,

A = ⑶ , B = ⑷

則 複合命題 ⑵ 和 ⑵‘ 可統一寫成：

A ∧ B

這樣我們就得到了邏輯語言的一個公式。除了析取外，日常交流中常用的聯詞還有很多，我們也對它們接引入邏輯符号來表示：

• 析取 ∨，表示 “或”、”或者“、”要麼...，要麼..“ 等；
• 否定 ¬，表示 “非” 、"不是”、“并非” 等；
• 蘊含 →，表示 “如果 ...，那麼 ...”，”若..., 則 ...“ 等；
• 等價 ↔， 表示 ”當且僅當“ 等；

比較原子命題：

• 老馬有錢；⑶’

和 ⑶ 我們發現 它們的謂語部分是相同的，隻有 主語 不同，于是我們可以 将 主語替換參數 x ，得到：

• x 有錢

若令，

P(x) = x 有錢，A = (3)，B = (3)'

則顯然有，

P(老張) = A，P(老馬) = B

稱 這樣的 P(x) 為謂詞。謂詞 也可以是多元的，例如，對 ⑴ 引入參數，得到謂詞：

Q(x, y) = x是y的CEO

就是一個二元 謂詞。從元數來看，位引入參數化的原子命題，例如上面的 A、B，可以認為是 零元謂詞。

注：一元謂詞P(x) 參數兩邊的 括号 可以省略不寫，記為 Px。

量詞也在日常交流中常常被用到，例如：

• 所有人都會回死；⑸
• 總有人是天才； ⑹

我們 用 ∀（稱為 全稱量詞） 表示 ”所有...“、”任何...“、”任意...“ 等， 用 ∃（稱為 存在量詞） 表示 ”有...“、”總有...“、”存在...“ 等。

注：∀ 為 Any 的首字母 A 上下颠倒得到，∃ 為 Exist 的首字母 E 左右翻轉得到。

于是令，

P(x) = x 是人，A(x) = x 會死，B(x)=x是天才

則 ⑸ 和 ⑹ 分别表示為：

∀x(P(x)∧A(x)) ⑸'

∃x(P(x)∧B(x)) ⑹'

注：在數學中，∀x(P(x)∧A(x)) 也被寫成 ∀x, P(x)∧A(x) ，這樣可以省一層 括号，看着清爽。

最後，複合命題可能有多層嵌套，例如：

• 并非所有人都是天才

這時改寫成 邏輯語言 時，需要使用 括号 進行分層，例如：

¬(∀x(P(x)∧B(x)))

至此，我們就得到了全部的 謂詞邏輯 語言。

回頭，再比較 ⑶ 和 ⑷，我們發現 它們的 主語 都是 老張，于是課将謂語參數化，得打：

• 老張 P

這樣 謂詞 P 就成了 變元。 這種情況，日常交流也經常遇到，例如：

• 老張有的，老馬也有。

寫成 邏輯公式就是：

∀P(P(老張) → P(老馬))

這種将 謂詞作為 變元的，稱為 高階邏輯，而 不将 謂詞作為 變元的，就是本篇介紹的 一階邏輯，也是被數學所使用的邏輯。

---

站在 數學的角度，聯詞 就是 集合 {T, F} 上的 邏輯運算，由于邏輯運算的操作數隻有 T 和 F 兩個，于是我們可以将 全運算 情況 羅列出來，得到如下的 真值表：

從真值表中可以看出，¬ 是一元運算，其它的都是 二元運算。邏輯運算可以是任意有限元的，特别是 零元運算，定義為：

• 恒真 ⊤ = T；
• 恒假⊥= F；

注：有些書 會用 ⊤ 和 ⊥ 分别去記 真 和 假。

雖然，邏輯運算多種多樣，但是它們可以 通過 有限 個 聯詞 的 組合來實現，能夠實現所有邏輯運算 的 聯詞集，被稱為 功能完全集。可以證明：

• 聯詞集 {¬, ∨, ∧, →, ↔} 是 功能完全的

這也是，為什麼自然語言 僅憑借 它們，就可以表達所有 邏輯，的 原因。

觀察，上面真值表 中 的 p, q 與 p → q 之間的邏輯關系，我們發現：

• 當 p=T 并且 q=F 時 p → q 為 F；
• 其它情況p → q都是 T；

于是有：

¬(p → q) = p∧¬q ①

進而得到：

p → q = ¬(¬(p → q)) = ¬(p∧¬q)

這種方法 稱為 寫假法。再觀察，還發現：

• 當 p=T 并且 q=T 時 p → q 為 T；
• 當 p=F 時 p → q 為 T；
• 其它情況 p → q 都是 F；

于是可得到：

p → q = (p∧q)∨¬p

這種方法 稱為 寫真法。

對于任意邏輯運算，我都可以通過，寫假法 或 寫真法，用{¬, ∨, ∧}去實現它，例如：

p↔q = ¬((¬p∧q)∨(p∧¬q)) 或 (¬p∧¬q)∨(p∧q)

故， {¬, ∨, ∧} 是功能完全集。

對于 p∨q 和 p∧q 使用寫假法，可分别得到：

¬(p∨q) = ¬p∧¬q

¬(p∧q) = ¬p∨¬q

這就是 德摩根定律，進而分别有，

p∨q=¬ (¬p∧¬q)

p∧q = ¬(¬p∨¬q)

這說明，{¬, ∨} 和 {¬, ∧} 也都是功能完全集。另外，由 ① 式，有，

¬(p → ¬q) = p∧¬(¬q) = p∧q

所以，{¬, →} 也是功能完全集。

那麼，有沒有一個聯詞的功能完全集呢？有！我們定義：

• 皮爾士箭頭： p↓q = ¬(p∨q)
• 謝弗豎： p|q = ¬(p∧q)

則分别有，

p∨q = ¬¬(p∨q) = ¬( p↓q) ， ¬p = ¬(p∨p) = p↓p；

p∧q = ¬¬(p∧q) = ¬(p|q)， ¬p = ¬(p∧p) = p|p；

所以，{↓} 和 {|} 都是功能完全集，也是最小的功能完全集。

在數學上，将 F 和 T 分别看做 0 和 1，這樣以來算術運算也就成了邏輯運算，例如：

p⋅q = p∧q

最後，結合數學運算，将 一元 和 二元 的所有邏輯運算彙總如下：

• 一元邏輯運算：

• 二元邏輯運算：

---

（好了，就寫到這裡了，以後想到了再補充！本篇力求簡單，盡量不耗費各位的時間，希望大家有機會看到，希望看到的能喜歡！）

補充1：

大家看到 蘊含 p→q 的真值表：

F → T = T，F → F = T

可能會差異。誠然，這和我們日常言語中的感覺不同，實際上，自然語言中的，“如果 p 那麼 q” 含有 邏輯推理的 意思，其相當于：

{p, p→q} ⇒ q

這與 p→q 的語義 并不相同。

,

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!

查看全部