一、知識、方法、技能

高中一年級數學（上）（試驗本）課本中給出了集合的概念；一般地，符合某種條件（或具有某種性質）的對象集中在一起就成為一個集合.

在此基礎上，介紹了集合的元素的确定性、互異性、無序性.深入地逐步給出了有限集、無限集，集合的列舉法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、補集、并集等十餘個新名詞或概念以及二十幾個新符号。

由此形成了在集合上的運算問題，形成了以集合為背景的題目和用集合表示空間的線面及其關系，表面平面軌迹及其關系，表示充要條件，描述排列組合，用集合的性質進行組合計數等綜合型題目。

二、賽題精講

（一）集合中待定元素的确定

充分利用集合中元素的性質和集合之間的基本關系，往往能解決某些以集合為背景的高中數學競賽題。

【點評】此題解方程中，應用了不等式取等号的充要條件，是一種重要解題方法，應注意掌握之。

【點評】這裡的錯因是将A、B的元素誤解為平面上的點了.這兩條抛物線沒有交點是實數.但這不是抛物線的值域。

【點評】上述兩題均為1987年全國高中聯賽試題，題目并不難，讀者應從解題過程中體會此類題目的解法。

（二）集合之間的基本關系

充分應用集合之間的基本關系（即子、交、并、補），往往能形成一些頗具技巧的集合綜合題.請看下述幾例。

【點評】解法1是直接法，解法2運用轉化思想把已知的四個集合的元素轉化為我們熟悉的的角的集合，研究角的終邊，思路清晰易懂，實屬巧思妙解。

【點評】此題中集合B中元素x滿足“|x|<3”時，會出現什麼樣的結果，讀者試解之。

【點評】此類函數方程問題，應注意将之轉化為一般方程來解之.

【點評】此類求參數範圍的問題，應注意利用集合的關系，将問題轉化為不等式問題來求解.

【點評】本題這種舉反例判定命題的正确與否的方法十分重要，應注意掌握之.

（三）有限集合中元素的個數

【例9】某班期末對數學、物理、化學三科總評成績有21個優秀，物理總評19人優秀，化學總評有20人優秀，數學和物理都優秀的有9人，物理和化學都優秀的有7人，化學和數學都優秀的有8人，試确定全班人數以及僅數字、僅物理、僅化學單科優秀的人數範圍（該班有5名學生沒有任一科是優秀）.

【思路分析】應首先确定集合，以便進行計算.

【詳解】設A={數學總評優秀的學生}，B={物理總評優秀的學生}，C={化學總評優秀的學生}.

故僅數學單科優秀的學生在4~11之間，僅物理單科優秀的學生數在3~10之間，僅化學單科優秀的學生在5~12人之間.

【點評】根據題意，設計這些具有單一性質的集合，列出已知數據，并把問題用集合中元素數目的符号準确地提出來，在此基礎上引用有關運算公式計算，這是解本題這類計數問題的一般過程。

三、針對性練習題

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