作者 | 劉洋洲

來源 | 轉自知乎專欄《萬物皆數也》，“數學英才”獲授權轉載，在此感謝！

三年前，朋友ZZN和我讨論如何在維球内撒點。當時我有一個很樸素的想法，三維球内均勻分布的點在視網膜看來并不是“均勻”的，而應該是中間密，邊緣疏。向左滑動下圖，依次是三種情況：維球面中的均勻分布的點投影前兩個坐标，即

圖中越是顔色深的點，就越接近球心。不過這并不意味着圖中圓心附近就沒有高維實心球邊界附近的點，它們隻不過是被深色的點遮擋而已。

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上圖代碼如下（R語言）：

f <- function(n=3, N=1000, color="#00CCFF"){par(mai=rep(0,4), oma=rep(0,4), bg = color)plot(0, 0, type = "n", xlim = c(-1.5, 1.5), ylim = c(-1.5, 1.5),axes = FALSE, xlab = "",ylab = "")a = runif(n*N, -1, 1)b = matrix(a*a, n)a = matrix(a, n)c = apply(b, 2, cumsum)[n,]b = which(c<=1 & c>0.75)points(a[1,b], a[2,b], pch=19, cex=0.3, col="yellow")b = which(c<=0.75 & c>0.5)points(a[1,b], a[2,b], pch=19, cex=0.3, col="orange")b = which(c<=0.5 & c>0.25)points(a[1,b], a[2,b], pch=19, cex=0.3, col="red")b = which(c<=0.25)points(a[1,b], a[2,b], pch=19, cex=0.3, col="purple")b = which(c<=1)print(length(b))}f(10,12000000)

沿着這個想法，繼續追問：如果是高維球中的點投影到低維（比如一維直線上），是否也會有這樣的現象呢？它的概率密度函數是怎樣的呢？

付諸行動，我在維單位球内撒了萬個點，并将點投影到一維區間上，然後将劃分為個小區間，統計投影點落入各小區間的頻率，畫出頻率分布圖。

看到這樣的鐘形曲線，誰不會蠢蠢欲動呢？

一個點出現在某一小區間内的概率，與所決定的維球的“切片”的體積成正比。所以這個問題本質上是一個重積分的問題。

命題：考查将維單位球内均勻分布的點（充分多），投影至一維區間，探究其投影點在此區間上疏密分布之狀況。

由重積分的定義，我們可以寫出投影點落入區間的概率：

是維球的體積；是——

（類比的情況，即是維球的切片維球，也就是圓， 圓的半徑由圓心所在坐标決定的。） 令

于是

做一個有益的變換：

上面這個變換意味着，我們将原先的分布函數橫向拉長倍，縱向壓縮倍，于是曲線下方面積保持不變。我們轉向研究概率密度函數，

先對系數進行估計：由維單位球體積公式，

以及公式估計的系數：

于是有

這就解釋了上面的曲線為什麼一幅正态模樣。更進一步， 将同自由度為的分布相比較，顯然有

因為這是替換兩個等價變量的結果，

當我第一次看到正态分布的概率密度函數時，那個時候我還是一個初中生，但是它帶給我的陌生感、怪異感一直延續至今。每次見到它，我心中總是嘀咕着，為什麼它會是這種形狀？，，，這些數字都是哪裡來的？如果說方程聯接了個重要常數，那麼正态分布則是體現了這幾個數字的可怕，它統治着萬事萬物從亘古以至于未來；如果說歐拉公式體現的是簡潔與和諧之美，那麼高斯分布體現的是哥特式的驚人魅力。方程是虛幻的，幾何卻能給予人切實的掌控感。我覺得一個美的方程背後必定蘊藏着幾何的寶藏，而我以上所寫的關于正态分布的幾何模型，就是這份寶藏中的億份之一吧！

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