1.單位圓中的三角函數定義

在上篇文章中，我們給出了單位圓中的三角函數定義。即在圓心在原點的單位圓中，任意角對應圓上一點(x, y)相應的三角函數定義為

從任意角的三角函數定義中，我們了解到正弦、餘弦和正切函數均為周期函數，因此，我們首先學習一個周期内的函數值就足夠了。

2.同一個2π周期内的三角函數轉化

現在我們從定義出發，觀察三角函數在一個周期内的特征，能得到哪些結論呢？

單位圓上任意一個點在每個象限都存在其對稱的點（x軸對稱、y軸對稱、原點中心對稱），這些對稱的點有個特點就是其橫坐标的絕對值相同、縱坐标的絕對值也相同，如上圖所示中的四個點。單位圓上每個點對應的角度，其正弦值為點坐标的y值、餘弦值為點坐标的x值。

在那麼四個象限互相對稱的點處，其正弦值的絕對值相同、餘弦值的絕對值也相同、正切值的絕對值當然也是相同的。這說明，四個象限的點對應的三角函數值都可以用第一象限對應的三角函數值表示，區别僅僅是正負号可能會有差異！

第二象限與第一象限對應關系：x異号、y同号，即

第三象限與第一象限對應關系：x異号、y異号，即

第四象限與第一象限對應關系：x同号、y異号，即

3.正弦函數和餘弦函數的關系

然後我們再來看正弦函數和餘弦函數有什麼關系。

首先，坐标軸x和坐标軸y是什麼關系呢？從旋轉的角度來說，可以将y軸看作是x軸沿着原點逆時針旋轉π/2得來的。若以y軸為角的起始位置，那麼角α對應的餘弦值為y，正弦值為-x；若以x軸為角的起始位置，它應該是角α π/2處，其正弦值為y和餘弦值為x。即在同一個點，在兩種定義下得到的三角函數值有下列關系。

這便是正弦函數和餘弦函數之間的關系。

4.誘導公式及其原理

綜合上述結論，任意角的三角函數都可轉化為銳角三角函數，正弦函數和餘弦函數也可互相轉化，這就是三角函數一系列誘導公式的原理！

對于正餘弦三角函數，有個誘導公式口訣為：“奇變偶不變，符号看象限”。

前半句的意思解釋為，角度±α加上π/2的奇數倍時，則正弦函數轉化為α的餘弦函數、餘弦函數轉化為α的正弦函數，即

角度±α加上π/2的偶數倍（即π的整數倍）時，正弦函數還是轉化為α的正弦函數、餘弦函數還是轉化為α的餘弦函數，即

後半句意思解釋為，上述幾個等式絕對值展開後，假定α為銳角時，首先确定等式左邊三角函數括号中表達式對應的角處于哪個象限，然後根據正弦或是餘弦确定此象限對應的縱坐标或橫坐标的正負号，即對應等式右邊去除絕對值後的正負号。

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