什麼是現代投資組合理論？

現代投資組合理論（Modern Portfolio Theory，MPT）是金融投資領域極具影響力的基礎理論之一，由經濟學家哈裡.馬科維茨（Harry Markowitz）提出，并在1952年的《金融雜志》（Journal of Finance）上以《投資組合選擇》（Portfolio Selection）的标題發表論文。因其在現代投資組合理論方面的工作，馬科維茨在1990年被授予諾貝爾經濟學獎。

現代投資組合理論（MPT）認為，僅關注一隻特定股票的預期風險和回報是不夠的，通過分散投資多隻股票可以明顯降低投資組合風險。MPT幫助投資者通過量化的方式改變投資組合中各種資産比例，在給定的風險水平下，獲得最大的預期收益。

現代投資組合理論的關鍵假設

MPT的核心思想是風險和回報直接相關。這意味着投資者必須承擔更高的風險才能獲得更高的預期收益。MPT的另一個主要思想是，通過分散投資，可以降低投資組合的整體風險。而為了得出以上關于“風險”，“收益”和“分散投資”三者之間關系的結論，需要有如下假設：

• 投資者都試圖追求最大收益
• 資産收益呈正态分布
• 投資者是理性的，都會避免不必要的風險
• 市場公開透明且高效，所有投資者都可以獲得相同市場信息
• 投資者對于預期收益的觀點相同
• 不考慮稅收和交易成本
• 單一投資者的資金規模不足以影響市場價格
• 可以在無風險利率的資金成本下無限量借債

盡管很多假設和現實情況不符，但是MPT仍然非常實用，主要在于MPT提供了一種可量化的數學方法來輔助投資者建立最優多元投資組合（一定風險水平下的最大收益，或者預期收益水平下的最低風險）。

風險與回報

任何投資都有兩個方面：風險和回報。投資者尋求盡可能低的風險以獲得盡可能高的回報。一般正态分布通過收益均值或期望值和風險标準差來量化評估這兩個方面。

均值或期望值

每天股價的均值或期望值變化可能為1.5％，這意味着平均而言，它會上漲1.5％。可以通過計算更大範圍數據樣本（比如：包含該股票的曆史每日價格變化）平均值來表示收益回報的均值或期望值。均值或期望值越高，收益越好。

風險标準差

标準偏差表示偏離均值或期望值的程度。标準差越高，意味着投資風險越大，不确定性更大。

通過均值和标準差的正态分布圖形就可以在定義的範圍内明确收益率和風險。

而MPT也是基于上述“正态分布”的概念。該理論提供了具體的數學公式來指導投資多元化。

分散化是一種風險管理方式，它通過投資于不相關的股票，行業或資産類别來消除“一籃子雞蛋”的風險。理想情況下，投資組合中一項資産的正面表現将抵消其他資産的負面表現。

為了評估多元投資組合的收益均值，需要按照不同權重計算投資組合中各類資産的收益均值。投資組合的總收益Rp計算公式如下：

其中，ωi 表示資産組合中i類資産的權重占比，Ri表示i類資産的收益均值。

而基于正态分布，總投資組合的風險或标準差 (Std-dev)p計算公式如下：

其中，cor-cof是資産i和j的預期收益之間的相關系數，而sqrt是平方根。盡管從數學上看似乎很複雜，但以上風險标準差計算公式中不僅包含單個資産的标準差，還包括各類資産之間的相關性。

現代投資組合理論應用示例

我們來評估一下應該将多少資本分别分配給股票A和股票B，來使A B的投資組合預期收益最大化并降低風險。

比如已有如下值：

Ra = 0.175

Rb = 0.055

(Std-dev)a = 0.258

(Std-dev)b = 0.115

(Std-dev)ab = -0.004875

(Cor-cof)ab = -0.164

從對股票A和B各占50%開始計算，則投資組合的總收益Rp為0.115，而投資組合總風險或标準差（Std-dev）p為0.1323。從上面這個簡單的比較可見：A B資産組合的收益和風險介于每種資産的各個值之間。但是，我們的目标是提高投資組合的收益，使其超出單個資産的平均收益，并降低風險，使其低于單個資産的風險标準差。

現在，将1.5的資本分配給股票A，将-0.5的資本分配給股票B（負資本分配是指将做空資産B獲得的收益來購買分配為正的資本。也就是說，用0.5倍資本做空股票B，并用這筆錢購買股票A，股票A的資本是1.5倍）

将上述值代入公式，我們得出新的Rp為0.1604，（Std-dev）p為0.4005。

同樣，我們可以繼續對股票A和B使用不同的分配權重，得出不同的Rp和（Std-dev）p組合。根據期望的收益（Rp），可以選擇最可接受的風險水平（std-dev）p。或者對于所需的風險水平，可以選擇最佳的投資組合收益。

而資本資産定價模型（CAPM）和有限前沿理論也是基于正态分布概念，是現代投資組合理論MPT的拓展或演變。

MPT的局限性

沒有一個數學模型是完美的，每個模型都有不足之處和局限性。

首先，股價收益是否遵循正态分布受到了很多質疑。有足夠的經驗證明，股價收益不遵循正态分布。所以基于此假設的模型可能會導緻結果産生較大偏差。

其次，MPT中關于各類資産之間的相關系數和協方差一般是固定的（基于曆史數據評估而來），而未來的預期值是變化的。例如：從2001年到2004年，債券市場和股票市場在英國市場上表現出了完美的關聯（這兩種資産的收益同時下降）。但在2001年之前的漫長曆史時期中情況卻恰好相反。

最後，數學模型中也未考慮投資者行為。即使假定了部分資本配置比例和做空資産的可能性，稅收和交易成本也被忽略了。

總結

MPT的啟示是：市場很難被擊敗，而那些擊敗市場的人就是那些承擔高于平均水平風險的人。這也暗示着，當市場下滑時，這些冒險者會得到相應的懲罰。

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