2022高考數學新高考卷一答案?一、選擇題 共40分1. 若集合M={x|√x <4},N={x|3x≥1}，則M∩N=，我來為大家講解一下關于2022高考數學新高考卷一答案?跟着小編一起來看一看吧!

2022高考數學新高考卷一答案

一、選擇題 共40分

1. 若集合M={x|√x <4},N={x|3x≥1}，則M∩N=

A. {x|0≤x<2} B. {x|1/3≤x<2} C. {x|3≤x<16} D. {x|1/3≤x<16}

解析：由題意知，x=9∈(M∩N)，排除AB,x=1/3∈(M∩N)，排除C

選擇D

2.若i(1-z)=1，則z z=

A. -2 B.-1 C.1 D.2

解析：i(1-z) =1,-(1-z)=i,z=1 i,z與z共轭的和是2

選擇D

3. 在△ABC中，點D在邊BC上，BD=2DA，記CA=m，CD=n，則CB=

A. 3m-2n B. -2m 3n C. 3m 2n D. 2m 3n

解析：

AD²=m² n²-2|m||n|cosC

BD=2DA

∴BD²=4DA²= 4m² 4n²-8|m||n|cosC

BD²=4m² 4n²-8 mn

=4(m²-mn n²-mn)

=4(m-n)²

CB=n DB

CB=2m-n或-2m 3n

選擇B

4.南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺的問題，其中一部分水蓄入某水庫，已知該水庫水位為海拔148.5m時，相應水面的面積為140.0km²；水位為海拔157.5m時，相應水面的面積為180.0km²，将該水庫在這兩個水位之間的形狀看作一個棱台，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時，增加的水量約為( )(√7≈2.65)

A. 1.0×109m³ B. 1.2×109m³ C. 1.4×109m³ D. 1.6×109m³

解析：當深度在中間4.5m時

水面的面積為

[√(1.4×108) √(1.8×108)]²/4

=0.8×108 √(7×0.09)×108

=0.8×108 0.3√7×108

≈1.595×108

那麼可知水量要大于1.595×108×4.5 1.4×108×4.5≈1.35×109

要小于1.595×108×4.5 1.8×108×4.5≈1. 53×109

選擇C

5.從2至8的7個整數中随機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為

A. 1/6 B. 1/3 C. 1/2 D. 2/3

解析：

第一類，随機2個數中含有2：互質有3組

第二類，随機2個數中不含2含有3：互質有4組

第三類，随機2個數中不含2,3含有4：互質有2組

第四類，随機2個數中不含2,3,4含有5：互質有3組

第五類，随機2個數中不含2,3,4,5含有6：互質有1組

第六類，随機2個數中不含2,3,4,5,6含有7：互質有1組

因此互質的概率為(3 4 2 3 1 1)/C27=2/3

選擇D

6.記函數f(x)=sin(ωx 0.25π) b (ω>0) 的最小正周期為T，若2π/3<T<π，且y=f(x)的圖像關于點(1.5π,2)中心對稱，則f(0.5π)=

A. 1 B. 1.5 C. 2.5 D. 3

解析：根據f關于點(1.5π,2)中心對稱知sin(1.5ωπ 0.25π)=0，b=2

那麼ω=-1/6 2k/3，根據T的關系可知ω=2.5

那麼f(0.5π)=1

選擇A

7.設a=0.1e^0.1，b=1/9，c=-ln0.9，則( )

A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. a<c<b

解析：a,b,c都是正數，b=ln e^(1/9),c=ln(10/9)

觀察e^(1/9)與10/9，知

∵e=lim(1 1/x)^x>(1 1/9)^9

∴b>c

或者

(1 1/9)^9<2 4/9 C(3,9)/729 C(4,9)/9^4 C(5,9)/9^5 5C(6,9)/9^6

(1 1/9)^9<2.444 0.14 0.008≈2.592<e

因此，c<b，排除A

10a= e^0.1,10b=10/9

觀察e^0.1與10/9，知

(1 1/9)^10>1 10/9 45/81 120/3^6 210/3^8 1260/3^10 70/3^11

(1 1/9)1^0>2.666666 0.1975 0.0001≈2.8642>e

因此b>a，排除B

a=0.1 e^0.1,c=-ln0.9

設f(x)=xe^x ln(1-x)

當1>x>-1時，f’=[(1-x²)e^x-1]/(1-x)

觀察1-x²與函數e^(-x)

當x=0.5時，1-x²>e^(-x)

所以當x<0.5時, (1-x²)e^x>1,f’>0單調增

f(0.1)>f(0)

a>c，排除D

選擇C

8.已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上，若該球的體積為36π，且

3≤l≤3√3，則該正四棱錐體積的取值範圍是( )

A.[18,81/4] B. [27/4,81/4] C. [27/4,64/3] D. [18,27]

解析：根據題意可知球的半徑r=3

根據題意，當l取值為3√3時，對棱截面為正三角形，那麼此時四棱錐的高為4.5，底面積為27/2，那麼體積為1/3×27/2×4.5=81/4

當高為4時，l²=8 16=24，體積為16×4/3=64/3>81/4，排除AB

當l取值為3時，對棱截面是頂角為120°的等腰三角形，那麼此時四棱錐的高為1.5，底面積為27/2，那麼體積為1/3×27/2×1.5=27/4

選擇C

二、選擇題(多項) 共20分

9.已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則

A. 直線BC1與DA1所成的角為90° B. 直線BC1與CA1所成的角為90°

C. 直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45° D. 直線BC1與平面ABCD所成的角為45°

解析：A選項正确，異面垂直，B選項正确，與射影垂直，就與直線垂直

C選項錯誤，作垂線可得所成的角為30°，D選項正确，通過對角線正好可以算出所成角

選擇ABD

10.已知函數f(x)=x³-x 1，則

A．f(x)有兩個極值點 B. f(x)有三個零點

C. 點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心 D. 直線y=2x是曲線y=f(x)的切線

解析：

f’(x)=3x²-1在導數為0的點處異号，A正确

當取小值點x=1/√3時，f(x)>0，因此隻有一個零點，B錯誤

1-f(t)=- t³ t

f(t)-1= t³-t

互為相反數，C正确

令f’(x)=2，得x=1或-1，而直線y=2x過點(1,2)和(-1,-2),f(1)=1,f(-1)=-1

因此D錯誤

選擇AC

11. 已知O為坐标原點，點A(1,1)在抛物線C: x²=2py (p>0)上，過點B(0,-1)的直線交C于P，Q兩點，則

A. C的準線為y=-1 B. 直線AB與C相切

C. |OP|·|OQ|>|OA|² D. |BP|·|BQ|>|BA|²

解析：根據點A在C上可以求出抛物線方程為x²=y，準線為y=-0.25，A錯誤

将直線AB方程帶入抛物線得x²=2x-1，判别式Δ=0，B正确

設直線BQ方程為y=kx-1，帶入得x²-kx 1=0

|OP|²·|OQ|²=(x1² y1²)(x2² y2²)

= x1²x2² x1²y2² x2²y1² y1²y2²

= x1²x2² x1²x24 x2²x14 x14x24

= x1²x2²(1 x1² x2² x1²x2²)

=2 (x1 x2)²-2x1x2

=k²

|OP|·|OQ|>2

|OA|²=2

C正确

|BP|²·|BQ|²=[x1² (y1 1)²][x2² (y2 1)²]

=(x1² y1² 1 2y1)(x2² y2² 1 2y2)

=(3x1² x14 1)(3x2² x24 1)

=9 3x2² 3x1² 3x1² 1 x14 3x2² x24 1

= 11 6(x1 x2)²-12 (x1² x2²)²-2

=-3 6k² (k²-2)²

=k4 2k² 1

|BP|·|BQ|=k² 1>5

|BA|²=5

D正确

選擇BCD

12.已知函數f(x)及其導函數f’(x)的定義域均為R，記g(x)=f’(x)，若f(1.5-2x)，g(2 x)均為偶函數，則

A． f(0)=0 B. g(-0.5)=0 C. f(-1)=f(4) D. g(-1)=g(2)

解析：根據題意f(1.5-2x)=f(1.5 2x)，x=1.5是對稱軸，C正确

g(2 x)=g(2-x)，x=2是g的對稱軸

f(x)=cos[π(x-1.5)] 1時滿足題意

此時f(0)=1，g(-0.5)=0，g(-1)≠g(2)，AD錯

選擇BC

三、填空題 共20分

13.(1-y/x)(x y)^8的展開式中x²y^6的系數為____ (用數字作答)

解析：原式=(x y)^8-y(x y)^8/x

(x y)^8中x²y^6的系數為，C(6,8)=28

-y(x y)^8/x中x²y^6的系數為，-C(5,8)=-56

填-28

14.寫出與圓x² y²=1和(x-3)² (y-4)²=16都相切的一條直線方程____

解析：一個是單位圓，一個是半徑為4圓心為(3,4)的圓，發現兩圓相切

那麼與圓心連線垂直的就是一條切線，切點為(0.6,0.8)，斜率為-0.75

填y=-0.75x 1.25

15.若曲線y=(x a)e^x有兩條過坐标原點的切線，則a的取值範圍是____

解析：y’=(x a 1)e^x，當x=-a-1<0時取極小值，此時y=- e^(-a-1)<0

此時當x=0時，要y>0才存在兩條切線，即a>0且-a-1<0，即a>0

填a>0

16.已知橢圓C:x²/a² y²/b²=1 (a>b>0)，C的上頂點為A，兩個焦點為F1,F2，離心率為0.5，過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點，|DE|=6，則△ADE的周長是____

解析：根據離心率是0.5，可設DE的方程為y=x/√3 c/√3，那麼

\frac{x^2}{a^2}+\frac{\left ({x\over\sqrt 3}+{c\over \sqrt 3}\right )^2}{b^2}-1=0

13x^2+8cx-32c^2=0

x_1-x_2=\frac{24\sqrt 3}{13}c

(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=36

(x_1-x_2)^2+\frac{(x_1-x_2)^2}{3}=36

c=\frac{13}{8}

x_1=\frac{-1+3\sqrt 3}{2}

x_2=\frac{-1-3\sqrt 3}{2}

AD^2 ={x_1}^2+\left (\frac{x_1}{\sqrt 3} +\frac{c}{\sqrt 3} -b \right )^2 =\frac{223-84\sqrt 3}{16}

AD=\frac{14-3\sqrt 3}{4}

同理

AE=\frac{14+3\sqrt 3}{4}

填13

四、解答題 共70分

17.(10分)記Sn為數列{an}的前n項和，已知a1=1，{Sn/an}是公差為1/3的等差數列

(1)求{an}的通項公式

(2)證明:1/a1 1/a2 … 1/an<2

解析：(1)

\frac{S_n}{a_n}=1+\frac{n-1}{3}

S_n-S_{n-1}=a_n

化簡可得

\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}

\prod _{k=1}^{n-1}\frac{a_{k+1}}{a_k}=\prod_{k=1}^{n-1}\frac{k+2}{k}

a_n=\frac{n(n+1)}{2}

(2)

\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{a_k}=2\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\times (k+1)}

=2\sum_{k=1}^n\left (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right )

=2\left (1-\frac{1}{n+1} \right )<2

18.(12分) 記△ABC的内角A,B,C的對邊分别為a,b,c，已知cosA/(1 sinA)=sin2B/(1 cos2B)

(1)若C=2π/3，求B

(2)求(a² b²)/c²的最小值

解析：

(1)

\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin {2B}}{1+\cos {2B}}

\frac{\cos \left ({\pi\over 3}-B \right )}{1+\sin \left ({\pi\over 3}-B \right )}=\frac{\sin B}{\cos B}

\cos \left ({\pi\over 3}-B\right )\cos B-\sin \left ({\pi\over 3}-B\right )\sin B=\sin B

B=\frac{\pi}{6}

(2)由(1)得

\sin B=\cos \left (\pi -C \right )

\frac{\pi}{2}+B=C

A=\frac{\pi}{2}-2B

由正弦定理

\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{\sin^2A+\sin^2B}{\sin^2C}

=2(1+\cos{2B})+\frac{4}{1+\cos {2B}}-5

\frac{a^2+b^2}{c^2}\ge2\sqrt{2(1+\cos{2B})\cdot\frac{4}{1+\cos{2B}}}-5

\frac{a^2+b^2}{c^2}\ge4\sqrt 2 -5

經計算，取等号時

\cos {2B}=\sqrt 2-1

19.(12分) 如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為2√2

(1)求A到平面A1BC的距離

(2)設D為A1C的中點，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值

19題圖

解析：

(1)設三棱錐A1-ABC的體積為V，可知V=4/3

那麼A到平面A1BC的距離為4/2/√2=√2

(2)取A1B的中點E，過E作EF⊥BD于F，連接EF

輔助線

∵AA1=AB,E是A1B的中點

∴AE⊥A1B

又平面A1BC⊥平面ABB1A1

∴AE⊥平面A1BC

AE=√2

∵EF⊥BD

∴BD⊥AF

∠EFA是所求二面角的補角

∵AE⊥BC, B1B⊥BC

∴BC⊥平面ABB1A1

∠A1BC =90°

A1A=2

△ABC的面積為4/2=2

AB=2，BC=2×2/2=2

A1B=2√2

∵D為A1C的中點

∴tan∠BA1C=tan∠FBE=1/√2

EF=BEsin∠FBE=√2/√3

tan∠EFA=√2/(√2/√3)=√3

∴所求正弦值為√3/2

20.(12分)一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣（衛生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中随機調查了100人（稱為對照組），得到如下數據：

| 不夠良好| 良好

病例組 | 40 | 60

對照組 | 10 | 90

(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異

(2)從該地區的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”，B表示“選到的人患有該疾病”，P(B|A)/P(B|A)與P(B|A)/P(B|A)的比值是衛生習慣不夠良好對患有該疾病風險程度的一項度量指标，記該指标為R

①證明：R= P(A|B)/P(A|B)·P(A|B)/P(A|B)

②利用該調查數據，給出P(A|B)，P(A|B)的估計值，并利用①的結果給出R的估計值

附：Κ²=n(ad -bc)²/[(a b)(c d)(a c)(b d)]

P(Κ²≥κ) | 0.050 | 0.010 | 0.001

κ | 3.841 | 6.635 | 10.828

解析：

(1)

K ^2=\frac{200\cdot (40\cdot 90-60\cdot 10)^2}{(40+60)(10+90)(40+10)(60+90)}

=24>10.828

∴ 有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異

(2)

P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.8 ,P(B|A)=0.2, P(B|A)=P(BA)/ P(A)=60/150=0.4

①P(B|A)=P(BA)/P(A)=90/150=0.6

∴R=P(B|A)/P(B|A)÷[P(B|A)/P(B|A)]=0.8/0.2÷(0.4/0.6)=6

∵P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.4 ,P(A|B)=0.6, P(A|B)=0.9

P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.1

∴P(A|B)/P(A|B)·P(A|B)/P(A|B)=6

R=6

②由①得R的估計值是6

21.(12分) 已知點A(2,1)在雙曲線C:x²/a²- y²/(a²-1)=1 (a>0)上，直線l交C于P,Q兩點，直線AP,AQ的斜率之和為0

(1)求l的斜率

(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面積

解析：(1)設AP,AQ的方程為y=kx 1-2k,y=-kx 1 2k，A在雙曲線上，分别代入有

\frac{4}{a^2}-\frac{1}{a^2-1}=1

a=\sqrt 2

C:\frac{x^2}{2}-y^2=1

\frac{x^2}{2}-k^2x^2-2(1-2k)kx-(1-2k)^2=1

x_P=\frac{-(1-2k)^2-1}{2\left ({1\over 2}-k^2\right )}=\frac{(1-2k)^2+1}{2k^2-1}

同理

x_Q=\frac{(1+2k)^2+1}{2k^2-1}

\frac{y_Q-y_p}{x_Q-x_p}=\frac{-k(x_Q+x_p)+4k}{x_Q-x_p}=-1

(2)由于AP,AQ斜率和為0，且tan∠PAQ=2√2，設k>0有

\frac{2k}{1-k^2}=2\sqrt 2

k=\frac{\sqrt 2}{2}

根據漸近線斜率，舍

\frac{2k}{1-k^2}=-2\sqrt 2

k=\sqrt 2

根據(1)

x_P=\frac{10-4\sqrt 2}{3}

y_P=\frac{4\sqrt 2-8}{3}+1

1-y_P=\frac{8-4\sqrt 2}{3}

2-x_P+1-y_P=\frac{4}{3}

S_P=\frac{4}{3}\cdot \frac{8-4\sqrt 2}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{16-8\sqrt 2}{9}

同理

x_Q=\frac{10+4\sqrt 2}{3}

y_Q=\frac{-8-4\sqrt 2}{3}+1

S_Q=\frac{4}{3}\cdot \frac{8+4\sqrt 2}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{16+8\sqrt 2}{9}

S_{\triangle PAQ}=S_Q -S_P=\frac{16\sqrt 2}{9}

22.(12分) 已知函數f(x)=e^x-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值

(1)求a

(2)證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐标成等差數列

解析：(1)由于a≤0時不滿足條件，因此a>0

f’(x)= e^x-a

f在x=ln a時取最小值

g’(x)=a-1/x

g在x=1/a時取最小值，若有相同最小值，那麼

a-alna=1-ln(1/a)

a=1

(2)根據圖像知，f與g，存在交點，并且此時y=b與兩函數圖像将出現三個不同交點

那麼有

e^x-x=b

x-lnx=b

設共同交點橫坐标是m

設函數h(t)= e^(m-t)-(m-t)-[(m t)-ln(m t)]

h(t)= e^(m-t)-2m ln(m t)

當t很大時h(t)>0

h’= -e^(m-t) 1/(m t)

根據增減趨勢，設當t=u∈(-m,0)時h’=0

t<u時e^(m-t)<1/(m t)

h’>0

設當t=v>0時h’=0

t>v時e^(m-t)<1/(m t)

h’>0

當t∈(u,v)時, e^(m-t)>1/(m t)

h’<0

t=u取極大值，t=v取極小值

又t=0∈(u,v)時，h=0

∴h(t)=0至少存在兩個根，除了t=0以外出現一個根滿足h(t)=0，就滿足題意

因此存在這樣的直線y=b

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