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高中數學幾何簡單的消參法

教育更新时间:2025-12-18 04:18:03

高中數學幾何簡單的消參法（立體幾何中的最值問題的四種求法）1

1. 用配方法求距離的最值

例1. 如圖1，正方形ABCD、ABEF邊長都是1，且平面ABCD、ABEF互相垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若

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。試求當a為何值時，MN的值最小。

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圖1

分析：此題的解題關鍵是想用含a的代數式表示距離，再用配方法求最值。

解：過M作

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，垂足為H，連結NH，如圖1所示。在正方形ABCD中，

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，所以

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，因為平面

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平面AE，所以

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平面AE，即

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。因為

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，所以

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即

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，

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，由餘弦定理求得

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。所以

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當

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時，

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，即M、N分别移到AC、BF的中點時，MN的值最小，最小值為

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2. 結合實際找最值位置

例2. 在一張硬紙上，摳去一個半徑為

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的圓洞，然後把此洞套在一個底面邊長為4，高為6的正三棱錐

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上，并使紙面與錐面平行，則能穿過這張紙面的棱錐的高的最大值是________。

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圖2

解：如圖2所示，假設硬紙上的圓洞剛好卡在B'C'D'處。設正三棱錐的頂點A在平面BCD上的射影為A'，在平面B'C'D'上的射影為O。

連結BA'、B'O并延長分别交CD、C'D'于E、E'點，則

平面

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平面BCD，所以

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，

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，即

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。又因為

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，所以

高中數學幾何簡單的消參法（立體幾何中的最值問題的四種求法）28

又

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，所以

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，即能穿過這張紙面的棱錐的高的最大值是

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。

3. 利用函數的有界性求體積最值

例3. 如圖3，已知在

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中，

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，

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平面ABC，

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于E，

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于F，

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，

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，當

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變化時，求三棱錐

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體積的最大值。

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圖3

解：因為平面ABC

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平面ABC，所以

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又因為

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，所以

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平面PAC，又

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平面PAC，所以

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，又

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，所以

高中數學幾何簡單的消參法（立體幾何中的最值問題的四種求法）49

平面PBC，即

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。

EF是AE在平面PBC上的射影，

因為，

所以

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，即

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平面AEF。

在三棱錐中，

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，所以

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，

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高中數學幾何簡單的消參法（立體幾何中的最值問題的四種求法）56

因為

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，所以

高中數學幾何簡單的消參法（立體幾何中的最值問題的四種求法）58

因此，當

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時，

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取得最大值為

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。

4. 結合圖形列方程求解。

例4. 棱長為2cm的正方體容器盛滿水，把半徑為1cm的銅球放入水中剛好被淹沒，然後再放入一個鐵球，使它淹沒水中，要使流出來的水量最多，這個鐵球的半徑應該為多大？

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圖4

解：過正方形對角線的截面圖如圖4所示。

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，

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設小球的半徑為r。

在

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，

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，所以

高中數學幾何簡單的消參法（立體幾何中的最值問題的四種求法）67

，解得

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，為所求。

--END--

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