作為新課程的一個重要版塊，數學廣角有系統、有步驟地向孩子滲透數學思想，把比較複雜和重要的數學思想方法轉化為孩子易于接受的簡單形式，通過孩子感興趣的事情表現出來，讓孩子在數學活動中感悟，培養他們的思維能力，提升數學素養。

以下是五、六年級的數學廣角，為讓大家更好掌握，每類型題都配有練習，供大家參考。（1-4年的數學廣角内容及解題策略見文末鍊接。）

例：一條公路全長1000米，在它的兩旁每隔5米種一棵樹（兩端要種）。一共需要多少棵樹苗？

解題策略：

植樹問題是在一定的線路上，根據總路程、間隔長和棵數進行植樹的問題。它的解題關鍵在于弄清植樹的棵數和間隔數的不同，必須考慮三種情況：

①兩端都植樹：棵數＝間隔＋1 ，公式為：

距離÷間隔長 1=棵數；

②一端植一端不植：棵數＝間隔（封閉圖形也是這一類），公式為：

距離÷間隔長=棵數；

③兩端都不植：棵數＝間隔－1，公式為：

距離÷間隔長－1=棵數。

所以，例題的答案是：

1000÷5 1=201（棵）

201×2=402（棵）（公路兩旁都種，所以算出一邊後乘2。）

練習：

1.廣場上大鐘5時敲5下，8秒鐘敲完，12時敲12下，幾秒鐘敲完？

2.一條公路的一側每隔6米種一棵樹，一共種了36棵，從第一棵到最後一棵的距離有多遠？

【植樹問題的學習滲透了數形結合、數學模型、對應、極限等數學思想，培養孩子全面思考的能力。】

例：有3瓶鈣片，其中1瓶少了3片，你能設法把它找出來嗎？如果有8瓶，如何找出其中少了3片的那瓶？

解題策略：可以把産品分成相等數量的若幹堆（盡量分成三份，能平均分就平均分，不能平均分的，差盡量小，最好是1），同時稱兩堆，平衡時說明這兩堆裡沒有次品，不平衡時就說明有次品存在，然後再類推。

找次品的題目有幾種解答方法：

（1）将推理的過程用“直觀圖”式表示出來；

（2）把不同的方案記錄在表格中，進行分析、猜測；

（3）直接應用規律，明确總個數在幾個3相乘的積之内，稱的次數就是幾。

規律：用天平找次品時，所測物品個數與稱的次數有以下關系：（隻含有一個次品，已知次品比正品重或輕。）

所以，如果共3瓶，在2一3之間，要找出其中較輕的那瓶，隻要稱1次就行。拿其中兩瓶來稱，如果相等，第3瓶就是少了3片的，如果不相等，輕的一瓶就是少了3片的，直觀圖如下。

如果共8瓶，在4一9之間，隻要稱2次就可以找出較輕的那瓶。可以将8瓶分為（3，3，2），天平兩邊各放3瓶，如果相等，剩下的2瓶再稱1次就能找出較輕的；如果不相等，較輕的一邊3瓶藥中拿出2瓶再稱1次，就能找出來，總共稱2次。

練習：1.一箱糖果有12盒，其中11盒質量相同，另有 1盒質量不足，輕一些，至少要稱幾次才能保證找出這盒糖果？

2.有3袋白糖，其中2袋每袋500克，另1袋不是500克，但不知道比500輕還是重，你能用天平找出來嗎？

【這類題是通過問題給出的線索，進行歸納、驗證，找出稱的次數最少的方法，應用了邏輯推理的思想、極限思想、歸納法等。】

例1：連續奇數的等差數列之和等于某平方數。

解題策略：借助圖形計算正方形的個數，研究從1開始的連續若幹奇數之和。從圖中可以看出：

1=12，

1 3=22，

1 3 5=32 ……

由此發現規律：從1開始，連續n個奇數之和，就是n的平方。

例2：等比數列之和等于1。

1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 …=

解題策略：因為1/2 1/4=3/4=1-1/4

1/2 1/4 1/8=7/8=1-1/8

1/2 1/4 1/8 1/16=15/16=1-1/16……

通過計算我們發現：（1）後一個加數是前一個加數的1/2；（2）每次相加所得的和都等于1減去最後一個加數。加數的個數越多，和就越接近1，這些加數無限地加下去，最後的和無限接近于1。

那麼，這個無限接近于1的數到底是多少呢？借助面積模型和長度模型，在圓上和線段上表示出這些加數，可以發現：如果無限加下去，最終的得數為1。

練習：1.看圖片并回答。

2.按下面所給的排列規律，第306個圖形是（ ）。

□▽☆○◎□▽☆○◎……

3.有14名同學參加同學聚會，每兩名同學之間握一次手，一共要握多少次？

【這單元内容讓孩子們探索“由形到數”和“由數到形”的過程，進一步體會到數形結合在解決數學問題的重要價值，同時滲透了極限思想、歸納法等。

例：把4支鉛筆放進3個文具盒中，不管怎麼放，總有一個文具盒裡至少放進2支鉛筆，為什麼？

解題策略：抽屜原理有兩個規律。

（1）把n個的物體任意分放進m個空抽屜中（m＞n），那麼一定有一個抽屜中放進了至少2個物體

（2）把多于kn個的物體任意分放進k個空抽屜（k是正整數），那麼一定有一個抽屜中放進了至少（k 1）個物體。

答：把4支鉛筆放進3個文具盒中，如果每個文具盒中放1支，則還剩下1支，不管放進哪個盒裡，總有一個文具盒裡至少放進2支。

練習：1.把5本書放進2個抽屜，不管怎麼放，總有一個抽屜裡至少放3本書，為什麼？

2.任意給出3個不同的自然數，其中一定有2個的和是偶數，請說明理由。

【這單元的學習主要應用了數學的模型思想和歸納法、假設法和枚舉法，鍛煉孩子的邏輯推理能力。】

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