三角函數摩天輪問題解題技巧-tft每日頭條

三角函數摩天輪問題解題技巧

生活更新时间:2025-01-11 17:43:12

這是百度上看到的幾何難題。看起來很不好做。三角形内有個正方形，求正方形的面積。

三角函數摩天輪問題解題技巧（用三角函數可以輕易解決）1

幾何難題

讓我們靜下心來思考一下，三角形能給我們哪些已知條件？正方形能給我們哪些已知條件？另外注意到FB=FC，線段相等給圖形旋轉帶來方便。

把△CFG繞F點旋轉180°到△BFD，此時BD∥AC，設∠A=α，則∠ABD=180°-α。設正方形邊長=x，則ED=EG=√2x。我們對△AEG和△BDE運用餘弦定理，得到：

2x²=7² 9²-2×7×9cosα，

2x²=6² 2²-2×6×2cos(180-α)。

解方程得：cosα=3/5。x²=136/5。

這樣就得到了正方形的面積。這個方法簡單。很多幾何題用三角函數來解比較方便，可以參看我的其他幾篇文章。

三角函數摩天輪問題解題技巧（用三角函數可以輕易解決）2

作輔助線

再來思考如何用幾何方法解題。

既然旋轉了，就幹脆用旋轉後的等價幾何題來證明一下。首先畫出圖形如下，題目變為：

四邊形ABDG是梯形，AG∥BD，AG=9，BD=2，AB=13。F是DG的中點，E在AB上，BE=6。四邊形EFGH是正方形，求正方形的面積。

三角函數摩天輪問題解題技巧（用三角函數可以輕易解決）3

等價變形後的幾何題

解題思考過程：

已知條件為梯形、正方形、線段中點、線段長度。為了找出正方形邊長與已知線段長度之間的關系，作梯形的中位線FM，延長GH交AB于N，發現△EFM∽△NGA。設正方形邊長為x，用相似三角形比例關系算出，HN=7x/11，EN=68/11，△EHN是Rt△，由勾股定理得到方程x² (7x/11)²=(68/11)²。解得x²=136/5。

總結一下：将三角形通過旋轉得到一個等價梯形，用相似三角形邊長成比例得到相關數據，用勾股定理列出方程解得正方形的面積。

做完後再看老師的解法。尤其是自己花了很多時間研究之後，想知道别人有什麼好的做法。

老師的解法是作BP∥FG，FG是三角形中位線，也是用相似三角形和勾股定理解方程，道理是相似的。不用旋轉，直接作輔助線。很好的解法，學有所獲。

三角函數摩天輪問題解題技巧（用三角函數可以輕易解決）4

老師的解法

此時心中感到無比欣慰。因為是自己研究所得，我給出的解法一定是獨一無二的。我與老師的解法形不同而意同，這也是數學的魅力所在。

當幾何題比較難解的時候，找到它的等價幾何題應該是一個不錯的方法，我有很多這方面的嘗試。

這裡是輕松簡單學數學，用最簡方法，學最難數學。輕松簡單不是憑空而來，而是長期研究思考的結果。

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