題目：如圖，CN是等邊三角形ABC外角内部的一條射線，點C關于CN的對稱點D，連接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射線CN于點E，P。

（1）依據題意補全圖形

（2）若∠ACN=α，則∠BDC的大小（用含α的式子表示）

（3）用等式表示線段PB,PC與PE之間的數量關系，并證明。

解答：

(1)根據題意補全圖形如下：

(2)∵D為A點關于CN的對稱點，

∴CN垂直平分AD

∴AC=CD，∠ACN=∠DCN=∠α

∵等邊三角形ABC

∴AB=AC

∴BC=CD

∴∠CBD=∠BDC

∵∠CBD ∠BDC=（180°-60°-∠ACN-∠DCN）=120°-2α

∴∠BDC=60°-α

（3）求解三條線段之間數量關系，一般情況會從最長的線段中截取與其中一條線段相等，求證剩餘部分與另一條線段相等或者其他的數量關系，本題通過第2小題中我們會發現∠BPC為60°角，我們就可以直接以∠BPC為頂角，截取PH=PC，此時問題就轉化為求證BH和PE的數量關系，觀察BH和PE，可以大膽猜測BH=2PE，又因為PE在直角三角形PDE中，且∠EDP=30°，我們就可以得出PD=2PE，這樣我們的問題就可以轉化成求證BH=PD，此時就可以考慮證全等得對應邊相等來解決問題。

方法2：等線段共端點，構造手拉手模型

∵∠PCD=α，∠BDC=60°-α

∴∠HPC=60°

截取在BP上截取PH，使得PH=PC

∴△PHC為等邊三角形

∴∠PCH=60°

∴∠ACB-∠ACH=∠PCH-∠ACH

∴∠BCH=∠PCA

在△BHC和△APC中

BC=AC

∠BCH=∠PCA

CH=PC

∴△BHC ≌ △APC（SAS）

∴BD=AP

在直角△PED中，

∵∠PED=∠HPC=60°

∴∠APE=∠EDP=30°

∴AP=2PE（直角三角形30°所對的邊的長度是斜邊的一半）

∴BP=BH PH=AP PC=2PE PC

方法2：對稱法

∵∠PCD=α，∠BDC=60°-α

∴∠HPC=60°

截取在BP上截取PH，使得PH=PC

∴△PHC為等邊三角形

∴∠PHC=∠HPC

∴∠BHC=∠CPD

在△BHC和△DPC中

∠HBC=∠PDC

∠BHC=∠CPD

BC=CD

∴△BHC ≌ △DPC（AAS）

∴BH=PD

在直角△PED中，

∵∠PED=∠HPC=60°

∴∠EDP=30°

∴PD=2PE（直角三角形30°所對的邊的長度是斜邊的一半）

∴BP=BH PH=PD PC=2PE PC

通過本題，我們掌握孩子們初步感知求證三條線段之間數量關系的解題策略，截取等線段，求證剩餘部分與第三條線段之間的數量關系。其次當出現等線段共端點時，考慮構造旋轉全等來解決問題。

上期練習課内容：

初二幾何專題輔導練習課01

初二幾何專題輔導練習課02

初中幾何專題輔導練習課03

初中幾何專題輔導練習課04

初中幾何專題輔導練習課05

本文作者：果爸，典型的閩南人，大學畢業後不務正業進入培訓圈，從事一線教學和教研工作，創過業帶過團隊，現在二次創業中，有興趣的朋友可以多多關注！本文首發于幼兒數學思維，轉載請聯系原作者。

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