問題:

小學時學習了四則運算，初中時學習了方程函數，高中學習了解析幾何和數列等等。到大學才發現，四則運算是建立在群論的基礎上，函數直接與微積分相關，方程實質上也與空間，線性代數聯系。也就是說，小時候學習的是數學中比較“高級”的結論性的内容，易于理解的内容，所以我就想問問，數學真正的“基礎”有哪些内容？我先說幾個：實數的構造，極限，群論，集合論等。另：【這裡的“基礎”和“高級”和平常的意思不同，相當于計算機裡的“低級語言”“高級語言”】

1 起初,高斯定義集合

2 集合的元素空虛混沌，淵面黑暗；高斯的思維運行在直覺上。

3 高斯說：“要有公理”，就有了9條公理,組成了公理天團,拯救面臨危機的數學.

4 高斯看元素是好的，就把一個元素定義為"1"。

5 高斯定義0為“1的前驅"，定義2為“1的後繼”。有前驅,有後繼,這是自然數.

6 高斯說:“集合元素之間要有運算,構成一個群."

7 高斯就規定了結合律,單位元,逆元,群結構就這樣成了。

8 高斯定義負數為“自然數的逆”。驗證了自然數滿足運算性質,驗證了結合律,是第二步.

9 高斯說:"整數群滿足交換律,可以定義第二種運算.”環就這樣成了。

10 高斯稱第一種運算為“加”，稱第二種為“乘”.高斯看着是好的.

11 高斯說:“整數環要擴展出分式域,讓每個非零元素都可逆”有理數就這樣成了。

12 于是自然地定義了有理數的加,通分後整數加;并定義了有理數的乘,分子分母分别整數乘;元素之間有大小順序.高斯看着是好的。

13 有乘法逆,有全序,是第三步.

14 高斯說:“有理數要可以構成柯西列,可以完備化，

15 并要定義等價類,區分極限不同的柯西列.”實數就這樣成了。

16 于是高斯定義了兩個運算,實數的加,實數的乘,又造減和除，

17 就把這些驗證是良定義,放在實數域上.

18 定義數的極限,驗證性質.高斯看着是好的.

19 有實數,有極限,是第四步.

20 高斯說:“任何的多項式,也是要按照代數基本定理,具有一個零點,N次的多項式,應該有N個零點.”

21 高斯就對實數域進行了一次代數擴張;又造出虛單位,兼容實數的運算.高斯看着是好的。

22 高斯就贊美這一切,說:“我搞的這個代數系統啊,excellent。”

23 有虛單位,有代數完備,是第五步.

24 高斯說:“一個集合應該有這樣的子集族,對集合運算封閉"sigma域就這樣成了。

25 于是高斯讓每個子集,對應一個非負實數;滿足單調性和可數可加.高斯看着是好的。

26 高斯說:“我們要讓每個可積的函數,按着勒貝格的辦法,使他們對應一個實數,簡單的,非負的,直到所有的，定義在一切可測函數上.”

27 高斯就照着實軸上積分的樣子,造出了可測函數的積分.

28 高斯就賜福給他們,又對他們說:“有了可測函數積分,就可以定義符号測度,從而定義導數”

29 高斯說:“看哪,我将所有基礎概念都定義了出來.

30 至于多重積分,複積分,算子值積分,不定積分,全微分,都留做習題,請讀者自行完成.”事就這樣成了。

31 高斯看着一切所造的都甚好.有深度,有逼格,是第六步.

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本文來源于舒自均（知乎）

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