高一數學必修一第四章第三課時?第2課時　補集學 習 目 标，下面我們就來聊聊關于高一數學必修一第四章第三課時?接下來我們就一起去了解一下吧!

高一數學必修一第四章第三課時

第2課時　補集

1．全集

(1)定義：如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那麼就稱這個集合為全集．

(2)記法：全集通常記作U.

思考：全集一定是實數集R嗎？

提示：全集是一個相對概念，因研究問題的不同而變化，如在實數範圍内解不等式，全集為實數集R，而在整數範圍内解不等式，則全集為整數集Z.

2．補集

1．已知全集U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，則A＝(　　)

A．{0}　　 B．{1}

C．∅ D．{0,1}

D　[∵U＝{0,1,2}，∁UA＝{2}，

∴A＝{0,1}，故選D.]

2．設全集為U，M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}，則U等于(　　)

A．{0,2,4,6} B．{0,2,4}

C．{6} D．∅

A　[∵M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}，

∴U＝M∪∁UM＝{0,2,4,6}，故選A.]

3．若集合A＝{x|x>1}，則∁RA＝________.

{x|x≤1}　[∵A＝{x|x>1}，

∴∁RA＝{x|x≤1}．]

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補集的運算

【例1】　(1)已知全集為U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，則集合B＝________；

(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，則∁UA＝________.

(1){2,3,5,7}　(2){x|x<－3或x＝5}　[(1)法一(定義法)：因為A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．

又∁UB＝{1,4,6}，

所以B＝{2,3,5,7}．

法二(Venn圖法)：滿足題意的Venn圖如圖所示．

由圖可知B＝{2,3,5,7}．

(2)将集合U和集合A分别表示在數軸上，如圖所示．

由補集的定義可知∁UA＝{x|x<－3或x＝5}．]

求集合的補集的方法

(1)定義法：當集合中的元素較少時，可利用定義直接求解.

(2)Venn圖法：借助Venn圖可直觀地求出全集及補集.

(3)數軸法：當集合中的元素連續且無限時，可借助數軸求解，此時需注意端點問題.

1．(1)設集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2,4}，則∁AB等于(　　)

A．{2,4}　　　　 B．{0,1,3,5}

C．{1,3,5,6} D．{x∈N*|x≤6}

(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，則∁UA＝______.

(1)C　(2){x|0<x<2，或x≥6}　[(1)因為A＝{x∈N*|x≤6}＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{2,4}，所以∁AB＝{1,3,5,6}．故選C.

(2)如圖，分别在數軸上表示兩集合，則由補集的定義可知，∁UA＝{x|0<x<2，或x≥6}．]

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集合交、并、補集的綜合運算

【例2】　設全集為R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁RB，∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.

[解]　把集合A，B在數軸上表示如下：

由圖知∁RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．

因為∁RA＝{x|x<3，或x≥7}，

所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}．

解決集合交、并、補運算的技巧

(1)如果所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然後結合交集、并集、補集的定義來求解.在解答過程中常常借助于Venn圖來求解.

(2)如果所給集合是無限集，則常借助數軸，把已知集合及全集分别表示在數軸上，然後進行交、并、補集的運算.解答過程中要注意邊界問題.

2．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，求集合A，B.

[解]　法一(Venn圖法)：根據題意作出Venn圖如圖所示．

由圖可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．

法二(定義法)：(∁UB)∩A＝{1,9}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，∴∁UB＝{1,4,6,7,9}．

又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，

∴B＝{2,3,5,8}．

∵(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，

∴A＝{1,3,9}．

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與補集有關的參數值的求解

[探究問題]

1．若A，B是全集U的子集，且(∁UA)∩B＝∅，則集合A，B存在怎樣的關系？

提示：B⊆A.

2．若A，B是全集U的子集，且(∁UA)∪B＝U，則集合A，B存在怎樣的關系？

提示：A⊆B.

【例3】　設集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求實數m的取值範圍．

[思路點撥]　法一：結合數軸∁UA∩B＝∅

法二：

[解]　法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}．

因為B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，

所以－m≤－2，即m≥2，

所以m的取值範圍是{m|m≥2}．

法二(集合間的關系)：由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A，

又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，

結合數軸：

得－m≤－2，即m≥2.

1．(變條件)将本例中條件“(∁UA)∩B＝∅”改為“(∁UA)∩B＝B”，其他條件不變，則m的取值範圍又是什麼？

[解]　由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}，又(∁UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.

2．(變條件)将本例中條件“(∁UA)∩B＝∅”改為“(∁UB)∪A＝R”，其他條件不變，則m的取值範圍又是什麼？

[解]　由已知A＝{x|x≥－m}，

∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．

又(∁UB)∪A＝R，

所以－m≤－2，解得m≥2.

由集合的補集求解參數的方法

(1)如果所給集合是有限集，由補集求參數問題時，可利用補集定義并結合知識求解.

(2)如果所給集合是無限集，與集合交、并、補運算有關的求參數問題時，一般利用數軸分析法求解.

1．求某一集合的補集的前提必須明确全集，同一集合在不同全集下的補集是不同的．

2．補集作為一種思想方法，為我們研究問題開辟了新思路，在正向思維受阻時，改用逆向思維，如若直接求A困難，則使用“正難則反”策略，先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.

1．思考辨析

(1)全集一定含有任何元素．(　　)

(2)集合∁RA＝∁QA.(　　)

(3)一個集合的補集一定含有元素．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2．U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，則(∁UA)∪B為(　　)

A．{1,2,4}　　 B．{2,3,4}

C．{0,2,3,4} D．{0,2,4}

D　[∵∁UA＝{0,4}，B＝{2,4}，∴(∁UA)∪B＝{0,2,4}．]

3．設集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，則(∁RS)∪T等于(　　)

A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}

C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}

C　[因為S＝{x|x>－2}，

所以∁RS＝{x|x≤－2}．

而T＝{x|－4≤x≤1}，

所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．]

4．已知全集U＝{2,0,3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，∁UP＝{－1}，求實數a的值．

[解]　由已知，得－1∈U，且－1∉P，

因此

解得a＝2.

當a＝2時，U＝{2,0，－1}，

P＝{2,0}，∁UP＝{－1}，滿足題意．

因此實數a的值為2.

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