本文作者：劉瑞祥，[遇見] 這裡感謝劉老師投稿支持！

以前我曾經談過概念，這篇文章再談一談和概念直接有關系的定義。

定義為什麼重要？我不想抽象地談論定義，隻想從對大家最有直接幫助的地方談起。就我個人的認識來說，定義既是概念的必要條件，也是概念的充分條件，或者說，既可以當做“性質定理”，也可以當做“判定定理”。

比如初中幾何中的“平行四邊形”定義就是一例。你要判斷一個四邊形是不是平行四邊形，那就要看這個四邊形是不是對邊分别平行，或者看是否滿足其它判定定理，而其它判定定理歸根到底是因為可以轉化成定義要求的條件。而你一旦遇到平行四邊形，不管是條件裡已經給出的，還是前面你證明了的，立刻可以應用全部平行四邊形的性質定理繼續推理。可以說，定義本身就給我們提供了豐富的解題依據。更重要的是，有時我們沒有别的依據，隻能靠定義來解題。我想，凡是曾經證明過數列和函數極限的人都深有體會吧。為了讓沒有接觸過極限的人也理解這一點，我舉一個和極限概念無關的例子：作三角形的外接圓。顯然這裡隻需要作任意兩邊的垂直平分線并求交點就可以了。而這個作圖法之所以成立，也正是因為所求的交點到三角形的三個頂點距離相等，符合圓的定義。類似的，要想證明若幹點共圓，一個容易想到的方法就是證明這些點到另外一個定點的距離相等。

從以上的簡單例子可以看出，隻有對做題有幫助的定義才是好定義。初學數學的人，往往容易把關于對象的直觀描述當成定義。但直觀描述不但是不可靠的，也是對做題沒有幫助的。大家可以翻一下自己的數學書，看看哪些話語會在解題時用到，就能對這裡說的有所體會。或者大家也可以設想一下，假設你要教給完全沒有生活經驗的電腦一個概念，那你應該是教它嚴格的數學定義還是直觀描述呢？

越是到高層次的數學，定義的作用越大，以至于有人說，數學最重要的不是技巧，而是概念（顯然這是包括其定義在内的）。除了以上我們曾經提到的極限定義以外，在高層次的數學當中，我們還會遇到各種各樣的所謂“空間”，而要判斷空間所屬哪一類，就必然要用到這些空間的定義，逐條加以分析，進一步我們可以根據它所屬的空間類别，來推斷它的性質——這一類空間就有這一空間的性質，那一類空間就有那一類空間的性質。這樣就可以把很多貌似不同的東西放在一起分析，得到同一類結論。

但還是有很多人覺得概念難以理解，我的看法是，要理解概念，不妨就找點實際例子。這裡的例子既包括我們早就熟悉的，也可以包括一些不熟悉的，還可以包括一些不滿足定義的例子。這樣從各個方面來理解定義，就容易多了。比如很多人對矩陣的特征向量、特征值有困惑，那你不妨随便寫個簡單的矩陣，然後手動求一下特征向量和特征值，再和原來的矩陣作一下乘法，看看乘得的結果是什麼。這裡可以用具體的數字來算，不要總在字母裡打轉轉。在這之後，還可以再随便假設特征值是一個什麼别的數，看看能不能得到特征向量（肯定是不能）。我相信，這一通操作下來，你會對定義有更進一步的理解。

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