最近有網友向老黃提問了這樣一道解三元二次方程組的問題，方程組如下：

{x^2 xy y^2=39；y^2 yz z^2=49；z^2 zx x^2=19}.

分析：不用說了，第一步肯定是給這個方程組的三個方程編号，以方便解題過程的組織了。乍看這個方程組，您有沒有一種用完全平方公式解決它的沖動。那也不是一定行不通的，但老黃沒有做到。

再繼續觀察，如果把三個式子相加，似乎就接近(x y z)^2的展開式了。不過這個方法老黃還是行不通。

或者會想到運用立方差公式，以①為例，就是等式兩邊同時乘以(x-y)，得到x^3-y^3=39(x-y). 同樣的，其它兩個式子也能轉化出類似的形式。轉化出來的三個式子相加，可以得到2x y-3z=0. 可以将z=(2x y)/3，代入②或③中，就可以得到一個二元二次方程組，實現消元的目的。這個方法看似比較靠譜。但如果真的這樣去做的話，幾乎是不可能解出方程的根來的。

那到底應該怎麼辦呢？其實這道題還有另外一個版本，就是要求x y z的值。我們就朝着這個方向去努力，試試看。

解：由①-②得(x-z)(x y z)=-10, 由②-③得(y-x)(x y z)=30,

設y-x=30a (1), 則x-z=-10a (2), x y z=1/a (3),

(1)-(2)得：y z-2x=40a，y z=40a 2x，代入(3)得 40a 3x=1/a, x=(1-40a^2)/(3a),

y=30a x=(1 50a^2)/(3a), 【現在發現了得到一個關于a的一元方程的可能】

将x,y代入①得：

((1-40a^2)/(3a))^2 (1-40a^2)(1 50a^2)/(3a)^2 (1 50a^2)^2/(3a)^2=39，【方程相當複雜，不過将a^2看作一個整體，化簡之後，發現還是可解的】

(1-40a^2)^2 (1-40a^2)(1 50a^2) (1 50a^2)^2=351a^2，解得：a^2=1/7或a^2=1/100,

當a^2=1/7時，a=根号7/7或-根号7/7，

x1=根号7 /3-40根号7/21，或x2=40根号7/21-根号7 /3，

對應的：y1=根号7 /3 50根号7/21或y2=-根号7 /3-50根号7/21，

z1=37根号7/3-40根号7/21，或z2=40根号7/21-37根号7/3.

當a2=1/100時，a=1/10或-1/10， x3=2，或x4=-2，對應的：

y3=5，或y4=-5， z3=3，或z4=-3.

您看明白了嗎？

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