假設 A, B 是兩個給定的集合. 我們定義它們的 Cartesian 乘積.

(1) Cartesian 乘積 (Cartesian product):

A × B := {(a, b)|a ∈ A 且 b ∈ B}.

這裡的符号 (a, b) 表示 a 和 b 的有序對，其定義如下.

(2) a 和 b 的有序對 (ordered pair) 定義為

(a, b) := {{a}, {a, b}}.

這裡 a 稱為有序對的第一坐标 (first coordinate) 而 b 稱為有序對的第二坐标 (second

coordinate). 當 a = b 時, (a, b) = {{a}}.

對 x = (a, b) ∈ A × B, 定義投影映射 (projection)

pr_1(x) = a, pr_2(x) = b.

(3) 怎麼去理解有序對呢? 我們考慮簡單的情形, 即 A 是平面坐标系 xy 中 x 軸的子集,

而 B 是 y 軸的子集. 現在我們把 A × B = {(a, b)|a ∈ A 且 b ∈ B} 一一對應到平面

上的一些點.

具體操作如下: 任取 (a, b) ∈ A × B, 按照有序對的定義得到 (a, b) = {{a}, {a, b}}.

先考慮 a = b 情形, 此時 (a, b) = (a, a) = {{a}}, 我們在 xy 平面上畫點 P 使得 P 的

橫坐标為 a 而縱坐标也是 a; 如果利用坐标記号的話, P = (a, a), 和這裡有序對的記

号相同. 再考慮 a 不等于 b 情形, 此時 {a, b} 6= {a}, 從而集合 {{a}, {a, b}} 包含兩個元

素; 我們在 xy 平面上畫點 P 使得 P 的橫坐标為 a 而縱坐标為 b; 如果利用坐标記号

的話, P = (a, b), 和這裡有序對的記号相同. 這樣我們在數集的情形下, 可以把有序

對和坐标對應起來.

坐标有個重要的性質是 (x_1, y_1) = (x_2, y_2) 當且僅當 x_1 = y_1 和 x_2 = y_2. 下面我們

要證明, 這個性質對有序對也是成立的.

(4) 給定兩個有序對 (a_1, b_1) 和 (a_2, b_2), 那麼

(a_1, b_1) = (a_2, b_2) 當且僅當 a_1 = a_2 和 b_1 = b_2

證: 先假設 (a1, b1) = (a2, b2) 成立. 如果 a1 = b1, 則得到

{{a2}, {a2, b2}} = (a2, b2) = (a1, b1) = {{a1}},

此時必有 {a2} = {a2, b2} = {a1} 從而得到 a2 = b2 = a1 = b1. 如果 a1不等于b1, 則得到

{{a2}, {a2, b2}} = (a2, b2) = (a1, b1) = {{a1}, {a1, b1}}.

因為等号右邊集合包含兩個元素, 所以等号左邊集合也必須包含兩個元素, 從而導緻 a2不等于b2. 因此, {a2} = {a1}, {a2, b2} = {a1, b1}. 即得到 a2 = a1 和 b1 = b2. □

(5) 如果 A = {a, b} 和 B = {i, j, k}, 則得到

A × B = {(a, i),(b, i),(a, j),(b, j),(a, k),(b, k)}.

易證 A × B不等于B × A 和

A × B = ∅ ⇐⇒ A = ∅ 或 B = ∅.

如果 A = B = (0, 1) ⊂ R, 則 A × B 就是經過原點 (0, 0) 且位于第一象限的邊長為 1 的正

方形的内部.

兩個集合的 Cartesian 乘積可推廣到 n 個集合的 Cartesian 乘積:

比如考慮三個集合 X_1, X_2 和 X_3, 此時我們首先定義 X_1 和 X_2 的 Cartesian 乘積 X_1 × X_2,

然後把這個新的集合和 X_3 再做一次 Cartesian 乘積就得到

X_1 × X_2 × X_3 := (X_1 × X_2) × X_3.

如果 x ∈ X_1 × · · · × X_n, 我們用 (x_1, · · · , x_n) 來記 (· · ·((x_1 , x_2), x_3), · · · , x_n) 并稱 x_i :=pr_i(x) 是 x 的第 i 個分量 (i-th component). 當所有 X_i 都等于 X 時, 上述乘積記為 X^n.

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