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垂徑定理，應該是大家比較熟悉的“圓”的一個重要性質了。

應該還記得，在圓的問題中，但凡是遇到圓中涉及弦的問題，我們都會選擇弦的中點，利用垂徑定理得到直角三角形。

那麼，什麼是垂徑定理？

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦和弦所對的弧。

其實，我們平時更多的是說圓的任意一條弦的中點與圓心的連線垂直平分弦。

從高中解析幾何的角度來描述，可以表達成這樣：

設點A,B是圓O上兩點，若AB的中點為M，當斜率存在時，有kAB·kOM=-1.

所以，從某種程度來說，垂徑定理本質應該是圓的中點弦問題了。

我經常也将圓的任意一條直徑，所對的圓周角為直角也視為垂徑定理的。

你知道為什麼嗎？

取PA中點M

則OM⊥PA

又顯然OM∥PB

則PB⊥PA

其實，作為一名高中生，除了圓的垂徑定理，我們更應該知道，圓錐曲線也是有垂徑定理的。

要說原因，來源于教材中的這樣一個例題：

【人教版高中數學·選修2-1：P41例3】

其實這題也确實是挺簡單的，因為按照解析幾何的基本思想，直譯就OK了！

因為求軌迹方程的過程，幾乎每一步都是做等價變形的，所以，也意味着，這個結論反之也是應該會成立的吧 ？

于是課堂上，我便給出了這個思考：橢圓上任意一點與長軸兩個端點的連線斜率之積為定值麼？

并且進一步，給出了下面這兩個變式題：

變式②中的“點差法”，其實還是很重要的。一般來說，如果題中涉及到弦的中點及斜率時，都是可以考慮按照這個過程去操作的。

當然，直譯的代價，便是很燒腦的化簡過程了。

所以很多的孩子，看到了這裡設而不求的“點差法”，臉上便綻放着恍然大悟的驚喜。

其實，進一步分析下兩個變式的關系，如果在變式②中，按照下圖做個點A關于原點的對稱點，變式①和變式②本質上其實是一樣的。

這是不是就像圓當中，“垂徑定理”和“直徑對直角”的關系了呢！

我們都知道，圓應該可以看成橢圓焦距為0時的特殊情形了，其實說的更親近些，圓就是退化了的橢圓呗。

因此，對于圓來說，a是等于b的。

于是根據橢圓的這個特殊性質，圓中便也有了斜率之積為-1這樣的結論，也就是以前所說的所謂的垂徑定理了。

那是不是可以說，圓錐曲線的這個結論，才是真正的垂徑定理呢。

嗯嗯，也确實，圓中所謂的垂徑定理實在是太小兒科了。

其實今天說這個垂徑定理，一方面是覺得教材中的這個例題，應該是很隐晦的告訴我們，垂徑定理是高中生應該熟練掌握的，最起碼要掌握它的推導過程。

而另一方面，更為重要的是，因為雙曲線的方程和橢圓極具相似性，在雙曲線中也有着類似這樣的結論。

雙曲線中的垂徑定理：

如果這組結論也成立的話，這個垂徑定理，也确實是太重要的了。

其實，這個垂徑定理的證明過程，腦補一下，和橢圓也應該是相象的。有興趣的可以自己類比着證明下。

隻是兩個結論的相似度，實在是太高了！為防止有時腦子會糊塗記錯，我一般是這樣記憶的：

雖然也許并沒有太多的道理，但用來記住這個結論，應該還算是可以的。

不能不提一下抛物線。

同為開放性曲線，因為沒有了對稱中心，抛物線雖然沒有了這個美好的垂徑定理，但也有一個還算類似的結論。

從這個動圖中，你能看出這個定值是誰麼？

這個結論的證明，還是利用“點差法”吧。

從這個定理的結論中，我們還可以得到一個很好的推論：

一束平行線與抛物線相交所得的弦，中點都在同一條水平直線上。

好了，現在可以總結下這組“垂徑定理”了。

① 有心圓錐曲線（圓、橢圓和雙曲線）

② 無心圓錐曲線（抛物線）

有了這組結論，我們就可以肆無忌憚地處理圓錐曲線中的中點弦問題了。

但還是要鄭重提醒那些片面追求解題技巧的孩子，這組結論原則上是不能直接使用的，使用時一定要先進行簡單的證明哦。

所以，還是要很好地體會定理的得出過程的。

當然，客觀題中，就真的可以毫無顧忌了。

01客觀題結果秒殺

說明：雙曲線的漸近線可以看成退化的雙曲線處理。

02主觀題過程優化

這個題，特地用了三種方法。

其實，是想讓同學做個比較，不過我覺得還是垂徑定理的應用比較好。

至于它的證明過程，雖比不上“點差法”的優美，但也還是一帆風順的。

所以，我後面的題，基本都是方法三了。

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