鄧文忠（陝西省洋縣黃安初中）

摘要：圍繞一道分得三角形面積比為1:2:3的點的個數方面的競賽題予以解析、探究、類比、拓展、聯想，揭示解決此類問題的方法、規律．其間即有理論上嚴謹的推導，又有幾何畫闆軟件直觀的驗證，在解析和拓展探究中有着極為豐富且優美的結論，并從另一角度印證了四邊形的“天然重心”問題，創新超越了原題的範疇．這樣的探究、拓展很自然，對啟發學生認識探究，理解探究及錘煉思維、創新思維，開闊視野，提高推理論\證能力大有裨益．

關鍵詞：面積比；競賽題解析；拓展探究；幾何畫闆軟件；平行六邊形；天然重心

數學探究是新課改所倡導的重要的教學方式,讓學生在探究中獲得知識、發展能力,已成為數學教學的一種追求．本文通過對2014年一道“希望杯”竟賽題的解析、探究、類比、拓展，獲得了意外的極為豐富且優美的結論，并從另一角度印證了四邊形的“天然重心”問題，創新超越了原題的範疇．同時對學生認識探究，理解探究有着積極的啟發，并能從中錘煉思維，獲得美的感受．

竟賽題 （第25屆“希望杯”全國數學邀請賽初三第2試試題）三角形内的一點和三角形三個頂點的連線将三角形分成三部分，若這三部分的面積比是1:2:3，則這樣的點的個數是（ ）.

從圖2中簡化出圖4，連接GH．

6所示；在圖6中A，P1，P2，P3，P4五點共線，且直線AP4平分MN，GH，BC．

形．

探究1：三角形外分得三角形面積比為1:2:3的點存在嗎？若存在，有幾個？怎麼作出這些點？

“梯形内部一點連接各頂點構造三角形四等分梯形面積是假命題”和 “梯形沒有‘天然重心’，四邊形也沒有‘天然重心’”(注：若平面四邊形内存在一點與四條邊構成的四個三角形面積相等，那麼這個點就稱為四邊形的“天然重心”)．

探究3：既然四邊形内分得四邊形面積比為1:2:3:4的點不一定存在，那麼怎樣作出符合要求的四邊形及這樣的點？

如圖17～圖23，假設△ABC固定，下面作出符合要求的點O及四邊形ABCD．

作法：（1）在AC上取一點E、G，使AE:EC=1:4；AG:GC=2:3；

（2）在直線BE上任取一點O（不與點B，E重合），延長BO至點F，使BO:OF=1:2；

（3）過點F作FD∥OA；

（4）連接OG并延長交FD于點D，連接AD，DC，OB，OC．

同樣地，可作出符合分得四邊形面積比為1:1:1:1的點及四邊形．

如圖23，圖24，BO平分AC，且BO=OD時，點O四等分四邊形ABCD的面積．此時有兩種圖形：一般的四邊形和平行四邊形．這從另一角度印證了,結論：如果一個四邊形有一條對角線平分另一條對角線，那麼這條對角線的中點就是這個四邊形的“天然重心”．

參考文獻：

[1]邵潇野，蘇斌.一道四等分梯形面積問題的探索和反思[J].中國數學教育(初中版)，2013（12）：28-30.

[2]朱丹，曹麗萍.“具有天然重心的四邊形”的探索[J].數學教學，2009（9）：7-8.

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